幾何学的視点からの固有値計算法の開発

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本研究では、代数的な行列の固有方程式の解である固有値と、幾何的なグラフ構造の間の関連性について研究を行い、幾何学的な構造から代数的な固有値の計算に対する新しい知見を導くことを目的としている。また、グラフスペクトル理論を情報工学分野への応用を模索することを目的としている。従来の精度保証付きによる固有値計算では、扱うシステムが多重固有値をもつ場合は、扱う行列が非正則になり、固有値の多重度が大きい場合、従来の不動点定理などを使った方法では、コンピュータを使っても狭い区間の中に固有値の存在を保証できない場合が存在した。一般に、行列のサイズが大きくなり、固有値の多重度が増すと、固有値を包み込む区間の幅は次第に大きくなっていくが、グラフスペクトル理論における視点を用い、グラフの特別な頂点を除くことで、行列のサイズを小さくし、複数の連結成分に分割することで、多重度が大きい固有値に対しても、精度よく固有値の包み込みができる例が存在することが一般のグラフについても確認できた。ある頂点を除いたときに、そのグラフに対応する行列において、着目している固有値の多重度が１つ上がる頂点Parter vertexを除くことで、多重固有値を包み込める場合が存在することがわかった。しかし、精度保証付き数値計算の実行速度の面からみると、他の手法と比べてみると、非常に遅いという問題点があることがわかったため、この方法を進展させるには、計算過程の効率化が今後の課題となることがわかった。もう一つの課題であるグラフスペクトル理論の応用として、グラフを使ったステガノグラフィへの応用を試みた。情報をある媒体に埋め込んで通信する手法をステガノグラフィというが、グラフ構造に含まれる辺を追加・削除することで、鍵となる複数の区間に含まれる固有値の数の偶奇を操作し、それによりビット値を変化させて情報を送る手法を新しく考案した。