Development of a hierarchical parallel numerical algorithm for saddle point problems

鞍点型と呼ばれる連立一次方程式は，2行2列のブロック行列を係数行列にもつ連立一次方程式であり，同方程式は様々な分野において現れる．係数行列の左上ブロックの行列が良条件であったとしても，右上，左下ブロックの行列の列数，行数が多くなると，クリロフ部分空間反復法の収束性が悪化し，求解が困難となる．この状況を打破するために，我々は同方程式のブロック構造を用いた数値解法（以下，提案法）を構築した．提案法では同方程式を直接解くのではなく，左上ブロック行列を係数行列とする複数右辺連立一次方程式の求解を介し，その解行列を用いて鞍点型連立一次方程式の解ベクトルを求める．この複数右辺連立一次方程式は，解くべき鞍点型連立一次方程式よりも求解が容易であり，ブロッククリロフ部分空間反復法を適用することで計算時間，反復回数の両面で効率的に求解が可能である．さらに，各右辺ベクトルは互いに依存関係がないことから分割が可能であるため，この性質を利用することで同時求解可能な複数の方程式に分割でき，分割された各方程式も並列に求解できる．よって，提案法は階層型の並列性をもつ．2022年度は特に，提案法の高速化を行うために，GPUクラスタにおける提案法の並列コード実装，及び性能評価を行った．複数右辺連立一次方程式の右辺ベクトルはMPIを用いて分割され，分割された各方程式は各MPIプロセスで解かれる．本研究では各MPIプロセスにGPUを1台割り当て，GPUで複数右辺連立一次方程式の求解を行った．また，鞍点型連立一次方程式の解ベクトルの計算には小規模連立一次方程式を解く必要があるが，この部分もGPUで計算することで高速化を図った．性能評価は筑波大学計算科学研究センターのスーパーコンピュータ「Cygnus」の計算ノードを最大56ノード利用して行い，GPU版コードはCPU版コードよりも十分高速であることを確認した．

鞍点型と呼ばれる連立一次方程式は，2行2列のブロック行列を係数行列にもつ連立一次方程式であり，同方程式は様々な分野において現れる．係数行列の左上ブロックの行列が良条件であったとしても，右上，左下ブロックの行列の列数，行数が多くなると，クリロフ部分空間反復法の収束性が悪化し，求解が困難となる．この状況を打破するために，我々は同方程式のブロック構造を用いた数値解法（以下，提案法）を構築した．提案法では同方程式を直接解くのではなく，左上ブロック行列を係数行列とする複数右辺連立一次方程式の求解を介し，その解行列を用いて鞍点型連立一次方程式の解ベクトルを求める．この複数右辺連立一次方程式は，解くべき鞍点型連立一次方程式よりも求解が容易であり，ブロッククリロフ部分空間反復法を適用することで計算時間，反復回数の両面で効率的に求解が可能である．さらに，各右辺ベクトルは互いに依存関係がないことから分割が可能であるため，この性質を利用することで同時求解可能な複数の方程式に分割でき，分割された各方程式も並列に求解できる．よって，提案法は階層型の並列性をもつ．2022年度は特に，提案法の高速化を行うために，GPUクラスタにおける提案法の並列コード実装，及び性能評価を行った．複数右辺連立一次方程式の右辺ベクトルはMPIを用いて分割され，分割された各方程式は各MPIプロセスで解かれる．本研究では各MPIプロセスにGPUを1台割り当て，GPUで複数右辺連立一次方程式の求解を行った．また，鞍点型連立一次方程式の解ベクトルの計算には小規模連立一次方程式を解く必要があるが，この部分もGPUで計算することで高速化を図った．性能評価は筑波大学計算科学研究センターのスーパーコンピュータ「Cygnus」の計算ノードを最大56ノード利用して行い，GPU版コードはCPU版コードよりも十分高速であることを確認した．