幾何学的対称性を用いた非線形波動・分散型方程式の解の挙動と特異性の解析

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レーザーとプラズマの相互作用を記述する非線形項に微分を含む非線形シュレディンガー方程式系の初期値問題に関する適切性の研究を行った。この方程式系は、ラプラシアンの係数の条件により、解写像の性質、特に、適切性が得られるソボレフ空間の指数が変化することが知られている。令和３年度の研究にて、逐次近似法を用いて初期値問題が適切となる初期値のソボレフ空間のほぼ最良な指数を決定した。令和４年度の研究では、逐次近似法を用いて初期値問題の適切性が得られないような条件の下で、エネルギー法を用いて初期値問題の適切性が得られることを示した。微分型非線形シュレディンガー方程式系では、非線形項に微分を含むことと、単独の方程式ではなく方程式系であるという２つの問題点があり、通常のエネルギー法を適用することは難しい。そこで、これらの２つを同時に処理するために、正則性の高い空間において非線形項に応じたポテンシャル項の修正を行い、初期値問題の適切性が得られることを示した。微分型非線形シュレディンガー方程式系については、このモデルを提案したColin-Colin (2004)により、修正項を伴ったエネルギー法は用いられていた。特に、非線形項に応じたポテンシャル項の修正も行われていたが、本研究では、非線形項の影響を丁寧に観察し、先行研究とは異なる修正項を用いることで、先行研究よりも係数に課す条件を弱めることができることを発見した。（平山浩之氏、木下真也氏との共同研究）