Robust and Efficient Numerical Methods for Matrix Problems with Singularity

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本課題の目的は、数値的な求解が困難な特異及び特異に近い性質をもつ行列問題に対する頑健な数理アルゴリズムを設計し、それが従来法に比べて優れることを示すことである。非適切問題に対する非一致な投影・逆投影を用いた一般化最小残差法（GMRES法）を考案した。これまで研究してきた、係数行列の転置とは異なる行列を用いることで行列の対称性を敢えて崩して前処理するGMRES法を用いる。方程式を離散化して得られる行列およびその転置は、必ずしも互いに転置の関係となるとは限らないが、GPUを用いるような特定の計算機環境において行列ベクトル積の効率がよい実装が可能である。一次の摂動解析により、投影・逆投影および観測誤差が解に与える影響を定量的に評価した。特異空間の解析により、解が求めるべき特異空間を復元していることを示した。数値実験により、提案法が従来法と同等の精度で求解できることを示した。また、一般エルミート行列固有値問題に対する、複素モーメント行列を使ったレイリーリッツの技法に基づく固有値・固有ベクトルの新しい精度保証付き数値計算を考案した。数値積分や線形方程式の求解等に生じるすべての誤差を評価するための区間演算に適した式を得た。近接固有値や重複固有値をもつような悪条件の問題に対しても頑健に精度保証できることを数値実験により示した。さらに、複数右辺ベクトルをもつ線形方程式に対する非対称行列向けLanczos法が数値的に到達可能な限界精度を改善するため、残差ノルムの平滑化を行う新しい更新式を考案した。従来の平滑化手法は単調な収束を保証できる一方、到達可能精度の改善は不可能であることが理論で示されていた。本研究は、主反復と双対反復を相互に伝搬させることでこの問題を克服できることを示した。他に、無限次元における微分作用素の新しい固有値計算手法も考案した。