直交型モジュラー形式の幾何

2021年度は主に次の３つの研究を行った。（１）エルミート対称空間の算術商の境界分岐因子（いわゆる変則カスプの高次元版）を研究した。リー群が随伴型である場合に境界分岐因子が生じないことを証明した。これによってリー群が随伴型ではない場合には、変則カスプを生じせしめる根本原因がリー群の中心に帰着することを突き止めた。（２）直交型モジュラー多様体上に特殊なタイプの正則テンソルを構成して、モジュラー多様体の部分多様体の小平次元の研究（いわゆるラング予想）に応用した。直交群の表現論を利用して、スカラー値モジュラー形式から正則テンソルを構成することがポイントである。スカラー値モジュラー形式はリフティングによって比較的構成しやすいので、これによって具体的に正則テンソルが得られる。これを部分多様体に制限することで部分多様体上の多重標準形式が得られるので、小平次元に応用できる。この際拡張可能性が問題となるが、そこでいくつかのタイプのスロープ条件が課される。この研究の過程で、直交型モジュラー多様体の部分多様体に関する「ランク」の概念に行き当たった。今後の研究課題としたい。（３）ベクトル値直交型モジュラー形式の理論の基礎の構築に取り組み始めた。スカラー値の理論はこの30年で発展してきたが、ベクトル値の理論はその重要性に比してあまり研究されてこなかった。基礎構築は2021年度中にはまだまだ完成せず、2022年度に継続となった。

2021年度は主に次の３つの研究を行った。（１）エルミート対称空間の算術商の境界分岐因子（いわゆる変則カスプの高次元版）を研究した。リー群が随伴型である場合に境界分岐因子が生じないことを証明した。これによってリー群が随伴型ではない場合には、変則カスプを生じせしめる根本原因がリー群の中心に帰着することを突き止めた。（２）直交型モジュラー多様体上に特殊なタイプの正則テンソルを構成して、モジュラー多様体の部分多様体の小平次元の研究（いわゆるラング予想）に応用した。直交群の表現論を利用して、スカラー値モジュラー形式から正則テンソルを構成することがポイントである。スカラー値モジュラー形式はリフティングによって比較的構成しやすいので、これによって具体的に正則テンソルが得られる。これを部分多様体に制限することで部分多様体上の多重標準形式が得られるので、小平次元に応用できる。この際拡張可能性が問題となるが、そこでいくつかのタイプのスロープ条件が課される。この研究の過程で、直交型モジュラー多様体の部分多様体に関する「ランク」の概念に行き当たった。今後の研究課題としたい。（３）ベクトル値直交型モジュラー形式の理論の基礎の構築に取り組み始めた。スカラー値の理論はこの30年で発展してきたが、ベクトル値の理論はその重要性に比してあまり研究されてこなかった。基礎構築は2021年度中にはまだまだ完成せず、2022年度に継続となった。