New development of analytic torsion invariants

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(1) 非シンプレクティックな位数3の群作用を持つK3曲面はEisentsein K3曲面と呼ばれ、そのモジュライ空間は位数3の群作用から定まる双曲型Eisenstein格子に付随する複素超球の算術商であることが知られている。Eisenstein K3曲面の解析的捩率不変量を構成し、この不変量が定めるモジュライ空間上の関数が複素超球上の保型形式と固定曲線の非零テータ定数の積のPeterssonノルムとして与えられることを示した。また、Eisenstein K3曲面の解析的捩率不変量から定まる複素超球上の保型形式の特異性が明示的に与えられるHeegner型因子であることを示した。ごく少数の例外を除き、Eisenstein K3曲面の解析的捩率不変量から定まる保型形式は正則であり、さらに零点がモジュラー射影の分岐因子に含まれるという性質で特徴付けられる鏡映的保型形式であることが示された。有限個の場合に限られるが、研究代表者の知る限り、この研究により鏡映的保型形式が複素超球の場合に初めて組織的に構成された（川口周氏（同志社大学教授）との共同研究）。(2) 代数多様体の1変数退化族とその上の中野半正なベクトル束の随伴束に対し、ファイバーの適切な仮定の下に解析的捩率がパラメータに関して漸近展開を持ち、発散の主要項が臨界軌跡に付随する特性類で書けることを示した。2010年に公表したプレプリントで同様の主張を示していたが、そこでの議論に不備があることが判明し、退化ファイバーまたはファイバーのコホモロジーに適切な条件を入れることで上述の結果が成り立つことが判明した。(3) 研究期間の初年度から継続しているEnriques多様体の解析的捩率不変量についても研究を進め、高次元の超ケーラー型Enriques多様体に対してBorcherds Φ-関数の類似を構成した。