Stability analysis for inverse problems of fractional partial differential equations and related topics

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本研究では時間非整数階偏微分方程式に対し幾つかの逆問題の一意性及び安定性評価を確立する。（１）非整数階微分を含む熱方程式：分数階微分を含む熱方程式は汚染物質の不均質媒体における異常拡散現象を記述するモデルである。数学解析のはじめとして初期値・境界値問題の一意存在性、即ち、汚染物質濃度の初期空間分布と領域の境界の濃度が与えられた場合、濃度の空間分布と時間発展が一意的に定まることを証明した。また、濃度の時間変数に関する多項式オーダーの減衰を確立した。（２）非整数階微分を含む波動方程式：一階微分の代わりに時間非整数階微分を減衰項として波動方程式に導入するものは、振幅の時間減衰を緩め、光音響・熱音響イメージングにおけるモデル式である。まず初期値・境界値問題の一意存在性を確立した。さらに、光音響イメージングから提起された境界観測データによる初期値を決定する逆問題を論じ、データの変動が小さい時に初期値の変動も小さいという安定性を確立した。この逆問題は医学診断・非破壊検査に密接し重要な課題である。（３）非整数階拡散方程式：一階時間微分の代わりに分数階の微分を用いた拡散方程式を考慮する。階数が1/2の場合において拡散の速度を影響する拡散係数及びソースの空間成分を決める逆問題の安定性を確立した。応用の観点から、これは拡散状況の予測に役立ち重要な問題である。また、この成果は類似の逆問題において初めての理論的安定性の結果である。（４）非整数階拡散方程式系：不均質媒体において二種類の物質が互いに影響し拡散する現象を考え、二つの非整数階拡散方程式からなる方程式系を考察する。具体的に、境界観測データを用いて物質の相互作用を表す係数を決める逆問題の安定性を証明した。この成果は非整数階拡散方程式系の逆問題に対する初めての理論的結果であり応用上で多数の物質の異常拡散現象の定量的な研究に貢献する見込みがある。