極小表現における解析

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非アルキメデス局所体上の準分裂な連結簡約群の不分岐L関数の、ある有限次元空間へのHecke作用の固有多項式を用いた新しい表示に関する投稿論文（大井雅雄氏、坂本龍太郎氏と共同）が出版された。Ben Said-Kobayashi-Orstedは、実メタプレクティック群Mp(N,R)と不定値直交群O(N+1,2)の極小表現をSL(2,R)の普遍被覆群の表現としてパラメータkとaを用いて変形させて繋げることで、Hermite半群(k=0, a=2)とLaguerre半群(k=0, a=1)を一般化するような半群を構成し、その積分核を与えた。この半群は(k,a)-generalized Laguerre semigroupと呼ばれる。Hermite半群やLaguerre半群に対してはStrichartz評価が成り立つことが知られているが、一般の(k,a)-generalized Laguerre semigroupに対しても成り立つかは不明であった。平良晃一氏と共同で、1<=a<=2または0<a<1かつk=0ならば(k,a)-generalized Laguerre semigroupに対してもStrichartz評価が成り立つことを示した。この結果は正の実数を動く変形パラメータaが1や2より大きいかどうかで作用素の解析的な性質が変わってしまうことを意味する。(k,a)-generalized Laguerre semigroupの積分核は変形I-Bessel関数やGegenbauer多項式を用いた無限和で与えられているが、変形I-Bessel関数のSchlafliによる積分表示や二項展開を用いることで積分表示を得ることができる。証明では、この被積分関数の特異点での挙動を調べて一様な評価を得る。投稿用の論文は執筆中である。