空間変数に関し非対称な非線型分散型方程式の平滑化効果による適切性の解明

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令和3年度は空間変数について非対称な非線型分散型方程式のうち，退化 Zakharov 方程式，および Half wave Schr\”odinger 方程式の初期値問題の適切性について考察した．まず退化 Zakharov 方程式では，時間局所適切性の成立する分散性の退化していない方向の滑らかさの指数を既知の結果よりも下げること（改善）に成功した．これまでの研究と同様に，Schr\”odinger 方程式についての線型評価，すなわち極大関数評価と局所平滑化評価を用いることが鍵となるが，Bejenaru，Ionescu，Kenig，Tataru（2011）の Schr\”odinger map で用いられた研究手法をこの方程式に応用することにより，特に空間次元が 3 のときに，約 3/2 階の滑らかさを下げることができた．また，退化 Zakharov 方程式では，通常の Zakharov 方程式と異なり Besov 型 Fourier 制限法により適切性は得られないことも示した．この方程式特有の興味深い現象である．次に Half wave Schr\”odinger 方程式について述べる．空間変数によって分散性が異なる非線型分散型方程式のうち，最もシンプルなものである．この方程式自体は物理背景を持たないものの，他の物理モデルを持つ方程式（退化 Zakharov 方程式，Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov 方程式）への応用も豊富に含むと考えられるため，初期値問題の（非）適切性解明が期待されている．既存の研究では，非適切性に関する結果はなかったが，本研究において非適切性の成立する初期値の滑らかさの範囲を部分的に明らかにした．