位相力学系の擬軌道追跡性による安定性とカオス的現象の研究

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前年度までの研究では、0 次元コンパクト距離空間上の連続写像について、位相推移性、擬軌道追跡性、正の位相的エントロピーが I 型分布カオス（DC1）の十分条件であることを示し、この結果を鎖成分に適用することで、可微分閉多様体上の連続／同相写像の空間において DC1 が C0-ジェネリックであることを示した。本年度の研究では、鎖成分ごとの鎖近接関係（cpr）による直和分割を相空間全体の直和分割へ延長する方法によって、個々の鎖成分に限定した局所的考察から、Li－Yorke 型のカオスの定義に基づくより大域的なカオス構造の研究に範囲を広げた。特に、S-極限擬軌道追跡性（S-LmSP）の仮定の下で、Mycielski の定理を用いることにより、鎖成分ごとの性質に応じて鎖成分の吸引領域における DC1 の意味でのスクランブル集合の存在／非存在を詳細に記述する結果を得た。また、対象を DC1 の研究から Li－Yorke 型カオスの Furstenberg 族による複数のバリエーションに拡大し、吸引領域における Li－Yorke 型カオスの強弱によって（一般には非可算無限個の）鎖成分を分類する観点を導入した。この研究は、（少なくとも）円周上の連続写像のような低次元の C0-ジェネリック・ダイナミクスの理解につながるものである。その他、擬軌道追跡性について、Moothathu の問題に初年度の研究とは別の部分的な解答を与え、また、本研究員の初期の研究を改良する結果として、エントロピー点であるような擬軌道可追跡点の cpr を用いた特徴づけを得た。加えて、今後の研究への展開が期待される多数の細々とした結果も得られた。したがって、特にカオスと擬軌道追跡性の関係について本研究は期待通り進展したと考えられる。