特異・退化な重みをもつ放物型偏微分方程式の漸近挙動解析と定性的解析

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本研究では特異性あるいは退化性のある重み関数を係数にもつ放物型偏微分方程式に対して，解の時刻無限大での漸近挙動を考察した．またそれに伴い，解の正則性等の定性的解析やHarnack不等式や熱核評価等の定量的解析を導出することを目的とした．加えて，重み付き熱方程式はポテンシャル項を持つ熱方程式の変換によっても得られるため，シュレーディンガー熱半群に対する解析も考察している．本年度の研究実施計画では，一般の重み関数に対して放物型偏微分方程式の漸近挙動解析を行うこと及び前年度からの計画修正として重み付きソボレフ空間のコンパクト埋め込みに関する先行研究の整理と拡張検討を予定していた．結果，本研究で扱う予定であった重み関数のクラスでの重み付きソボレフ空間のコンパクト埋め込みの結果は十分に得られておらず，現時点では多項式冪の重み関数の場合のみ漸近挙動を導出できている．一方でポテンシャル項を持つ熱方程式の解評価は結果を得られた．具体的には，逆二次ポテンシャルを持つシュレーディンガー熱半群に対して導関数のローレンツ空間での最適減衰評価を導出し，対応するシュレーディンガー作用素の調和関数の挙動を用いて特徴付けを行った．これは先行研究の拡張であるとともに，シュレーディンガー熱半群及びその導関数の挙動がシュレーディンガー作用素の正値調和関数のみならず他の調和関数の挙動によって決定される様子を表した結果となっている．