保型表現のリフティング

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本年度は昨年度に引き続き、まずは宮脇リフトの局所理論について研究を行った。具体的には、Speh表現のShalikaモデルを用いて定義されるある局所ゼータ関数について研究を行った。これは分裂ユニタリ群（つまり一般線型群）の局所宮脇リフトの非消滅性を決定するために昨年度導入したものである。このゼータ関数の収束性や解析接続性などの基本的性質は昨年度の時点で分かっていたが、今回はさらにそれが定めるL関数があるテンソル積L関数に一致するという結果を得た。この結果は学会で発表を行い、また論文にまとめ学術雑誌に投稿を行った。続いて、大域宮脇リフトのノルムが満たす公式に関する考察を行った。これは大域宮脇リフトのノルムを適当なL関数の特殊値と局所的な因子の積で記述するというもので、本研究が当初目指していた大域理論（宮脇リフトの非消滅性の決定）の精密化である。この公式は、予想するだけならばある種の不分岐計算（不分岐な行列係数に関する適当な積分）を行うことで得られると（市野-池田予想などの、保型形式の周期に関する先行研究から）期待される。そこで、計算ソフトSageMathを用いてかなり多くの例について不分岐計算を行い、その値の予想を得た。さらに、分裂ユニタリ群に対しては先に述べた研究結果を用いてその予想が正しいことを証明した。そして、それら（不分岐計算の値（の予想））に基づき、宮脇リフトのノルムが満たす筈である公式の予想を得た。この公式を実際に証明するのは今後の課題である。