非線形放物型方程式系の爆発及び漸近挙動

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非線形放物型方程式系を対象として爆発問題に取り組み、解の爆発の速さを同定する事ができた。また単独非線形放物型方程式を対象として解の存在と一意性に関する結果を得ることができた。1. 全空間における爆発評価。放物型グロスピタエフスキー方程式系のもつ数学的構造に着眼して、非線形項の指数がソボレフ劣臨界の場合に、符号変化する爆発解の爆発の速さを同定する事ができた。その証明では相似変換をした後の大域解について評価を得るという手法を用いた。単独方程式の場合に爆発解は、空間一様な解と同じ速さで爆発する事が知られているため、本研究では同等の結果が方程式系においても成立する事を証明した。この結果に関する論文が1篇雑誌に掲載された。2. 一般領域における爆発評価。1の発展として凸領域の場合にも爆発解の爆発の速さを同定する事ができた。また必ずしも凸でない場合には、空間一様な解より速く爆発する点をタイプII爆発集合と定義し、その集合が領域の境界と交差しないという仮定の下で解の爆発の速さに関する評価を得た。この結果は単独方程式においても新規的であり、論文1篇が雑誌に掲載予定である。3. 高階を含む単独方程式に対する解の一意存在について。単独の非線形放物型方程式に対し、爆発時刻以後の解の延長可能性と密接に関連する、解の局所一意存在性を、べゾフモレイ空間と呼ばれる関数空間を導入し、ラドン測度を含むより広いクラスの初期値に対して示した。特に従来の手法を拡張し、分数冪拡散や粘性ハミルトン・ヤコビ方程式を含む形で理論を整備した。これらの関数空間は大域存在を考える臨界の空間を含み、また近年研究されている小さな初期値に関する有限時刻爆発と関連し重要であると考える。この結果に関し多少の修正を加えて論文として発表をする予定である。今後はこれらの研究をさらに発展させ、爆発問題や大域非存在に関する研究を行う予定である。