Tropical curves with finite group actions

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トロピカル化という極限操作により，代数曲線からトロピカル曲線というトロピカル幾何で扱われる一次元の幾何的対象が得られる．より一般に，グラフを用いて抽象トロピカル曲線という幾何的対象が定義でき，上記トロピカル曲線は自然に抽象トロピカル曲線の構造を持つ．抽象トロピカル曲線に対し，その上に有理関数が定義でき，その間に射が定義できる．有理関数全体集合には自然にトロピカル半体上の半体の構造が入る．以降単に抽象トロピカル曲線をトロピカル曲線という．１．トロピカル曲線の有理関数半体がトロピカル半体上の半体として有限生成であることを示した．２．１およびその証明を用いて，トロピカル曲線とトロピカル曲線の有理関数半体間の半環同型写像が成す圏と，トロピカル曲線と一定値倍率倍拡大（縮小）写像が成す圏とが圏同型であることを示した．系として，トロピカル曲線の自己同型群と，トロピカル曲線の有理関数半体のトロピカル半体代数自己同型群とが同型であることが分かった．３．トロピカル曲線への有限群による等長的な作用およびトロピカル曲線間の射がガロア的であることの定義を昨年度与えた．今回は半体の拡大に対し有限群によるガロア的作用を定義し，トロピカル曲線への有限群による等長的な作用およびそのトロピカル曲線を始域とするトロピカル曲線間の射が与えられたとき，射がガロア的であることと，始域のトロピカル曲線の有理関数半体と終域のトロピカル曲線の有理関数半体の射による引き戻しによる半体の拡大に対し，与えられた群作用によって自然に引き起こされる始域のトロピカル曲線の有理関数半体への作用がガロア的であることが必要十分であることを示した．１および２は古典的な代数幾何における，代数閉体上の非特異射影曲線とその間の支配射が成す圏と，次元１の関数体とその間の準同型写像が成す圏とが圏同値であることの部分的トロピカル類似を与える．