速く増大する非線形項を持つ非整数階反応拡散方程式の初期値問題

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本年度は，反応拡散方程式の初期値問題（初期境界値問題）を考察した．方程式の時間微分が整数階（1階）と非整数階（0と1の間の実数階）の場合を考察し，非整数階である時はCaputo微分とする．反応拡散方程式の初期値問題（初期境界値問題）は，初期関数が特異性を持ち，有界ではない場合は，時間局所解の存在が自明ではなく，非線形項の増大度と初期関数の特異性とのバランスに深く依存することが知られている．私は，速く増大する非線形項を持つ単独方程式と連立方程式に対し，このバランスを明らかにする研究をした．具体的には，(1) 時間微分が整数階で，非線形項が多項式増大もしくは指数増大する単独方程式，(2) 時間微分が非整数階で，非線形項が多項式増大する単独方程式，(3) 時間微分が非整数階で，非線形項が指数増大する単独方程式および連立方程式に取り組み，時間局所解が「存在する／しない」ことを判定できる初期関数の可積分条件を導いた．なお，(1)は宮本安人先生との共同研究，(2)はMarius Ghergu先生と宮本安人先生との共同研究である．(1)と(2)では，二重臨界と呼ばれる場合を研究した．二重臨界の場合は，これまで非線形項が純粋冪である時が研究された．(1)では，優解を新しく構成することで，二重臨界となる場合に純粋冪を含む非線形項に対して，時間局所可解性を示した．特に，非線形項が純粋冪と，ある対数関数の冪との積の形であれば，時間局所解が「存在する／しない」ことを正確に判定できる．(3)について述べる．時間微分が非整数階で，非線形項が指数増大する場合は，多項式増大する場合とは異なり，時間局所可解性がほとんど研究されていなかった．私は，整数階時間微分の場合を考察した(1)の優解の構成方法が，非整数階時間微分の場合にも応用できることを発見し，非線形項が指数増大する場合に対して時間局所可解性を示した．