極小モデル理論とサルキソフ・プログラム

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一般に、極小モデルプログラムのアウトプットとして現れる森ファイバー空間に一意性はない。つまり、同一の代数多様体に対して極小モデルプログラムを走らせても同型でない、いくつかの森ファイバー空間が出力される。これらの間には、自然と双有理写像が存在し、この写像の構造に関する予想をサルキソフ・プログラムという。サルキソフ・プログラムは、高々端末特異点を持つ3次元代数多様体の場合にSarkisov氏、Reid氏やCorti氏らにより完成している。また、Hacon氏とMcKernan氏により任意次元の川又対数的端対の場合にサルキソフ・プログラムの対数化が完成している。私は、任意次元のQ-分解的なトーリック多様体上で、有効とは限らない任意の因子に対し、この対数的サルキソフ・プログラムの一般化に成功した。系としてトーリック多様体上のサルキソフ・プログラムが証明される。この証明のアイデアは、上記のHacon氏とMcKernan氏によるものだが、トーラス不変な因子に帰着させることにより、いくつかの難解な議論を回避することができた。しかしながらトーリック多様体上であっても、ここからQ-分解的という条件を外すことは難しいように感じた。一方、ここでは考える因子は境界因子どころか有効ですらないので、この結果からそのままトーリック多様体という条件を外すことは不可能である。この結果は現在、arXivに公開し、また学術誌に投稿中である。