Analysis of dispersive effects for partial differential equations appeared in the geophysical fluid dynamics

本年度は，昨年度の研究に引き続き圧縮性回転Navier-Stokes方程式の適切性について考察した．昨年度の研究では回転速度の大きさを大きく取りマッハ数を十分小さく取ることにより任意の有限時刻まで時間局所解を構成できていたが，時間大域解の構成には至っていなかった．時間大域解を構成する際に障壁となっていた低周波部分での解析の困難点を，Fourier空間における詳細な低周波エネルギー法により克服した．その結果，臨界Besov空間の枠組みにおける圧縮性Navier-Stokes方程式の時間大域解の構成に成功した．また，回転がない通常の圧縮性Navier-Stokes方程式について考察した．臨界Besov空間における大きい初期値に対して，マッハ数を十分小さく取り，初期速度場の非圧縮部分が時間大域的非圧縮流を生成すると仮定すると，圧縮性Navier-Stokes方程式の時間大域的一意解が存在し，さらにマッハ数を0とする特異極限において解が非圧縮性Navier-Stokes方程式の解に収束することを証明した．さらに，2次元全空間上の非圧縮性定常Navier-Stokes方程式についても考察した．本研究では，最も狭い臨界Besov空間を含む枠組みにおいて，同方程式が非適切であることを外力に対する連続依存性の破綻によって証明した．この結果は十分小さいある外力に対して，小さい解は存在しないことも結論できる．証明の要は，同方程式が適切であると仮定して対応する2次元非定常Navier-Stokes方程式の大きな時刻における解の挙動から矛盾を導くことである．

本年度は，昨年度の研究に引き続き圧縮性回転Navier-Stokes方程式の適切性について考察した．昨年度の研究では回転速度の大きさを大きく取りマッハ数を十分小さく取ることにより任意の有限時刻まで時間局所解を構成できていたが，時間大域解の構成には至っていなかった．時間大域解を構成する際に障壁となっていた低周波部分での解析の困難点を，Fourier空間における詳細な低周波エネルギー法により克服した．その結果，臨界Besov空間の枠組みにおける圧縮性Navier-Stokes方程式の時間大域解の構成に成功した．また，回転がない通常の圧縮性Navier-Stokes方程式について考察した．臨界Besov空間における大きい初期値に対して，マッハ数を十分小さく取り，初期速度場の非圧縮部分が時間大域的非圧縮流を生成すると仮定すると，圧縮性Navier-Stokes方程式の時間大域的一意解が存在し，さらにマッハ数を0とする特異極限において解が非圧縮性Navier-Stokes方程式の解に収束することを証明した．さらに，2次元全空間上の非圧縮性定常Navier-Stokes方程式についても考察した．本研究では，最も狭い臨界Besov空間を含む枠組みにおいて，同方程式が非適切であることを外力に対する連続依存性の破綻によって証明した．この結果は十分小さいある外力に対して，小さい解は存在しないことも結論できる．証明の要は，同方程式が適切であると仮定して対応する2次元非定常Navier-Stokes方程式の大きな時刻における解の挙動から矛盾を導くことである．