Index Theorems for Quantum Walks

量子行走的索引定理

• 批准号: 20J22684
• 负责人: 田中 洋平
• 金额: $ 2.18万
• 依托单位: Shinshu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-24 至 2023-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J22684/
• 关键词: 離散時間量子ウォーク; 超対称的量子力学; Witten指数; バルクエッジ対応; ギャップレスなトポロジカル相; カイラル対称性; 量子ウォーク; スペクトル流; 非ユニタリ量子ウォーク

【研究実績】昨年度に発表したカイラル対称性を持つ量子ウォークの指数に関するarXivプレプリントが, 今回Reviews in Mathematical Physicsにアクセプトされた. この類の量子ウォークの特徴は, 超対称的量子力学で「超対称的ハミルトニアン」として知られるエルミート作用素の組を自然な形で定義できるという点である. これらに対して, 「Witten指数」と呼ばれる不変量を定義できるという事実はよく知られている. 先行研究では(離散時間)量子ウォークの時間発展作用素がスペクトル・ギャップを持たないケースが中心に考察されていて, その場合はWitten指数をFredholm指数として数学的に特徴づける事ができる. 一方, 今回発表した論文ではスペクトル・ギャップを持たない具体的な1次元モデルを考察しており, その場合に散乱理論を経由する形で先述のFredholm指数を半数値指数まで拡張することに成功した.【今後の研究の展開】既知の量子ウォークの整数値指数に関する結果を半整数値Witten指数まで拡張するというのは, 当該研究計画の最大の目標であった. 最終年度でこの数学的な目標を無事に達成する事ができた一方で, 幾つかの新しい課題も浮き彫りになった. 例えば, 当該研究の物理的な重要性に関しては, 時間的な制約の関係で十分に吟味できたとは言い難い(例えば, 指数の半整数値性とレゾナンスの存在の関連性など). また, Witten指数の幾何学的な特徴づけに関しても部分的な結果しか得る事ができなかった(例えば, バルク・エッジ対応との関連性など). これらの未解決問題は, 令和5年度の新規採択課題23KJ1868「量子ウォークのスペクトル流: 散乱理論における新しい不変量の研究」の重要なモチベーションである為, 次年度以降も継続して研究を進める計画である.

Last year's research report showed that the symmetry of quantum physics index is related to arXiv, this review in Mathematical Physics is available. The quantum mechanics of supersymmetry is characterized by supersymmetry, supersymmetry and supersymmetry. The Witten Index is defined as the number of variables in the index. In this paper, we first study the time evolution factors of quantum physics (discrete time), such as Witten index, Fredholm index and mathematical characteristics. On the other hand, the paper has been published in this paper. It is a concrete study of the first dimension of the theory of scattering. It is a successful study of the Fredholm index of the first half of the index. [Future research] The results of the known quantum exponent of integer value are related to the half-integer value of Witten exponent, and when the maximum goal of the research project is to be achieved, the results are related to the integer value of Witten exponent. The final year is the year when the goal of mathematics is achieved, and when the goal is achieved, there are several new problems. For example, when the physical importance of the study is relevant, the relationship between the constraints of time is very difficult to describe (for example, the semi-integer value of the index is related to the existence of the index). The geometric characteristics of Witten index are related to the results of some parts of Witten index (e.g., correlation between Witten index and Witten index). This is an important topic for the new regulation project 23KJ1868,"Quantum flow: new quantitative research in scattered theory," and the next year's research plan is to improve the quality of quantum flow.

项目成果

An index theorem for one-dimensional gapless non-unitary quantum walks

一维无间隙非酉量子行走的指数定理

• DOI: 10.1007/s11128-021-03212-y
• 发表时间: 2021
• 期刊: Quantum Information Processing
• 影响因子: 2.5
• 作者: Asahara Keisuke;Funakawa Daiju;Seki Motoki;Tanaka Yohei
• 通讯作者: Tanaka Yohei

On enumeration of discrete eigenvalues for continuous one-parameter families of unitary operators

关于酉算子连续单参数族离散特征值的枚举

• 发表时间: 2021
• 作者: Yohei Tanaka

On the real part of a chiral unitary

关于手性酉的实部

• 发表时间: 2022
• 作者: Tomoki Nakamura;Toru Koizumi;Yuya Degawa;Hidetsugu Irie;Shuichi Sakai;Ryota Shioya;Yohei Tanaka
• 通讯作者: Yohei Tanaka

Topological Invariants for Strictly Local Operators on the One-dimensional Integer Lattice

一维整数格上严格局部算子的拓扑不变量

• 发表时间: 2020
• 作者: Yohei Tanaka

Supersymmetric Index for Non-unitary Quantum Walks with Gapless Time-evolution

无间隙时间演化的非酉量子行走的超对称指数

• 发表时间: 2020
• 作者: Yohei Tanaka;Yohei Tanaka
• 通讯作者: Yohei Tanaka