Index Theorems for Quantum Walks

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【研究実績】昨年度に発表したカイラル対称性を持つ量子ウォークの指数に関するarXivプレプリントが, 今回Reviews in Mathematical Physicsにアクセプトされた. この類の量子ウォークの特徴は, 超対称的量子力学で「超対称的ハミルトニアン」として知られるエルミート作用素の組を自然な形で定義できるという点である. これらに対して, 「Witten指数」と呼ばれる不変量を定義できるという事実はよく知られている. 先行研究では(離散時間)量子ウォークの時間発展作用素がスペクトル・ギャップを持たないケースが中心に考察されていて, その場合はWitten指数をFredholm指数として数学的に特徴づける事ができる. 一方, 今回発表した論文ではスペクトル・ギャップを持たない具体的な1次元モデルを考察しており, その場合に散乱理論を経由する形で先述のFredholm指数を半数値指数まで拡張することに成功した.【今後の研究の展開】既知の量子ウォークの整数値指数に関する結果を半整数値Witten指数まで拡張するというのは, 当該研究計画の最大の目標であった. 最終年度でこの数学的な目標を無事に達成する事ができた一方で, 幾つかの新しい課題も浮き彫りになった. 例えば, 当該研究の物理的な重要性に関しては, 時間的な制約の関係で十分に吟味できたとは言い難い(例えば, 指数の半整数値性とレゾナンスの存在の関連性など). また, Witten指数の幾何学的な特徴づけに関しても部分的な結果しか得る事ができなかった(例えば, バルク・エッジ対応との関連性など). これらの未解決問題は, 令和5年度の新規採択課題23KJ1868「量子ウォークのスペクトル流: 散乱理論における新しい不変量の研究」の重要なモチベーションである為, 次年度以降も継続して研究を進める計画である.