Index Theorems for Quantum Walks

量子行走的索引定理

• 批准号: 20J22684
• 负责人: 田中 洋平
• 金额: $ 2.18万
• 依托单位: Shinshu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-24 至 2023-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J22684/
• 关键词: 離散時間量子ウォーク; 超対称的量子力学; Witten指数; バルクエッジ対応; ギャップレスなトポロジカル相; カイラル対称性; 量子ウォーク; スペクトル流; 非ユニタリ量子ウォーク

【研究実績】昨年度に発表したカイラル対称性を持つ量子ウォークの指数に関するarXivプレプリントが, 今回Reviews in Mathematical Physicsにアクセプトされた. この類の量子ウォークの特徴は, 超対称的量子力学で「超対称的ハミルトニアン」として知られるエルミート作用素の組を自然な形で定義できるという点である. これらに対して, 「Witten指数」と呼ばれる不変量を定義できるという事実はよく知られている. 先行研究では(離散時間)量子ウォークの時間発展作用素がスペクトル・ギャップを持たないケースが中心に考察されていて, その場合はWitten指数をFredholm指数として数学的に特徴づける事ができる. 一方, 今回発表した論文ではスペクトル・ギャップを持たない具体的な1次元モデルを考察しており, その場合に散乱理論を経由する形で先述のFredholm指数を半数値指数まで拡張することに成功した.【今後の研究の展開】既知の量子ウォークの整数値指数に関する結果を半整数値Witten指数まで拡張するというのは, 当該研究計画の最大の目標であった. 最終年度でこの数学的な目標を無事に達成する事ができた一方で, 幾つかの新しい課題も浮き彫りになった. 例えば, 当該研究の物理的な重要性に関しては, 時間的な制約の関係で十分に吟味できたとは言い難い(例えば, 指数の半整数値性とレゾナンスの存在の関連性など). また, Witten指数の幾何学的な特徴づけに関しても部分的な結果しか得る事ができなかった(例えば, バルク・エッジ対応との関連性など). これらの未解決問題は, 令和5年度の新規採択課題23KJ1868「量子ウォークのスペクトル流: 散乱理論における新しい不変量の研究」の重要なモチベーションである為, 次年度以降も継続して研究を進める計画である.

[研究结果]去年出版的《量子散步指数的Arxiv预印》现已被数学物理学的评论所接受。这种类型的量子步行的特征在于，它自然可以定义一组在超对称量子力学中被称为“超对称性汉密尔顿人”的遗传操作员。在这些情况下，可以定义称为“ Witten指数”的不变性的事实。先前的研究重点是量子步行（离散时间）的时间开发操作员没有光谱差距，并且在这种情况下，Witten指数可以数学上以弗雷德霍尔姆指数为特征。另一方面，本文发表的论文研究了一个没有光谱差距的具体一维模型。在这种情况下，我们通过散射理论成功地将上述的弗雷霍尔姆指数扩展到了半单位指数。 [未来的研究发展]将已知量子步行整数索引的结果扩展到半智慧Witten指数是研究项目的最大目标。尽管在最后一年成功实现了这一数学目标，但也突出了一些新的挑战。例如，很难说，由于时间限制（例如，指数的半智能价值与共鸣的存在之间的关系），可以对研究的物理重要性进行彻底检查。此外，关于Witten指数的几何表征（例如，与散装边缘对应的关系等），仅获得了部分结果。这些尚未解决的问题是，这是23KJ1868新近采用的问题的重要动机，“量子步行的频谱流：散射理论中新不变的研究的研究”，我们计划在下一个财政年度及以后继续研究。

项目成果

An index theorem for one-dimensional gapless non-unitary quantum walks

一维无间隙非酉量子行走的指数定理

• DOI: 10.1007/s11128-021-03212-y
• 发表时间: 2021
• 期刊: Quantum Information Processing
• 影响因子: 2.5
• 作者: Asahara Keisuke;Funakawa Daiju;Seki Motoki;Tanaka Yohei
• 通讯作者: Tanaka Yohei

On enumeration of discrete eigenvalues for continuous one-parameter families of unitary operators

关于酉算子连续单参数族离散特征值的枚举

• 发表时间: 2021
• 作者: Yohei Tanaka

On the real part of a chiral unitary

关于手性酉的实部

• 发表时间: 2022
• 作者: Tomoki Nakamura;Toru Koizumi;Yuya Degawa;Hidetsugu Irie;Shuichi Sakai;Ryota Shioya;Yohei Tanaka
• 通讯作者: Yohei Tanaka

Topological Invariants for Strictly Local Operators on the One-dimensional Integer Lattice

一维整数格上严格局部算子的拓扑不变量

• 发表时间: 2020
• 作者: Yohei Tanaka

Supersymmetric Index for Non-unitary Quantum Walks with Gapless Time-evolution

无间隙时间演化的非酉量子行走的超对称指数

• 发表时间: 2020
• 作者: Yohei Tanaka;Yohei Tanaka
• 通讯作者: Yohei Tanaka