On the Lefschetz property of complete intersections

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研究代表者の張間は、次数が連続するベキ和対称多項式で定義される完全交叉環の中心単純加群の生成系に関する研究を継続した。その結果、変数に関する中心単純加群の生成系を決定することができた。研究分担者の和地氏は、引き続き複素鏡映群の余不変式環のレフシェッツ性について研究を進め、論文投稿を行った。また、多項式から生成されるアルチンゴレンスタイン環のレフシェッツ性についての研究を進め、2022年12月に、城西大学小木曽氏、統計数理研究所中島氏とのセミナーを釧路で開催し、多項式としてグラフのキルヒホッフ多項式や、概均質ベクトル空間の相対不変式を考えた場合の研究を進めた。研究分担者の五十川氏は、ジョルダンタイプが分かっている次数付ゴレンスタイン代数のテンソル積のレフシェッツ性を調べるための道具として、重み付ヒルベルト関数を提案し、積公式が成り立つことを確認した。また、中心単純化群については、研究代表者の提案に基づき、ベキ和対称多項式で生成された完全交叉の中心単純加群たち(第１次中心単純加群)の決定および、レフシェッツ性を調べる為のさらなる中心単純加群(第2次中心単純加群)の考察に取り組んだ。研究協力者の渡辺氏は、完全交叉環のHilbert seriesの階差数列に現れる正整数は、組み合わせ論におけるKostka numberに他ならないことを2022年9月に開催されたCortona の研究会で紹介した。このことから、一般的な一次偏微分作用素による primitive space の重要性が明らかになり、完全交叉環のSLP問題の全面的な解決に近づいている。この一方、Spechtイデアルの被約性とMacaulay性が如何に係数体の標数に係るかは、モノミアル完全交叉環のSLPが如何に標数に係るのか、と基本的に同じであることが判明するなど、意外な成果も得られた。