簡約代数群とその被覆群のエンドスコピーの研究

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現在、分裂していない簡約代数群の被覆群のエンドスコピーについては、一般にはエンドスコピーの理論が存在するかどうかも分かっていない。そのため、本研究では簡単な群の場合から研究を行うこととし、令和3年度までの研究に続けて令和4年度も GL(2) の内部形式である四元数体の乗法群の偶数次の被覆群のエンドスコピーについて研究を行った。令和3年度までの研究代表者の研究により、定義体の剰余標数 p が奇素数で1の4乗根を含んでいる場合には、分裂していない四元数体の乗法群の被覆群に対して局所的な問題の主要部分が解決されていた。令和4年度は、この研究を元に、跡公式を用いて、定義体の剰余標数 p が奇素数で1の4乗根を含んでいる場合に、分裂していない四元数体の乗法群の被覆群に対してエンドスコピーの研究を行った。この研究により、この場合には、エンドスコピー群から四元数体の乗法群の偶数次の被覆群への表現の持ち上げが存在することを示すことができた。つまり、この場合にはエンドスコピーの理論が存在していることになる。この研究は、一般に、分裂していない簡約代数群の被覆群に対してもエンドスコピーの理論があることを強く示唆している点で重要である。また、既約許容表現のエンドスコピー的持ち上げにおいて、既約許容表現の中心指標と内部形式の定めるハッセ不変量とが関係していることが分かった。簡約代数群のエンドスコピーにおいては、ハッセ不変量と関係するのは S-群の中心指標であり、既約許容表現の中心指標がハッセ不変量と関係しているという現象は被覆群のエンドスコピーが簡約代数群のエンドスコピーとは異なっている点であり、とても興味深い。このような現象はこれまで知られていなかったと思われ、被覆群のエンドスコピーの理論のありかたに重要な示唆を与えるものと考えられる。