Drinfeld保型形式の傾斜

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本年度は，重さkのDrinfeld尖点形式における傾斜の上界に関する研究を行った．Drinfeld尖点形式とは，正標数の関数体における楕円尖点形式の類似であり，楕円尖点形式に匹敵する深度の数論的性質を持つことが期待されているが，その性質はまだよく分かっていない．楕円尖点形式では自明に従う性質が，Drinfeld尖点形式では未解決問題であることもあり，傾斜の上界もそのような問題の一つである．傾斜とは素点vでのHecke固有値のv進付値のことで，この値がDrinfeld尖点形式のv進的な性質を司るため，傾斜がどのような値になりうるかを知ることが重要になる．重さkの楕円尖点形式に対しては新形式・旧形式の理論があり，そこから傾斜の上界がk-1であることが従う．一方，Drinfeld尖点形式に対しては，そのような理論でよいものが見つかっておらず，新しいアイデアが必要になる．本年度の研究で，Atkin-Lehner対合を用いることで，旧形式でない部分に現れる傾斜が(k-2)/2であることは証明できた．一方で，旧形式の傾斜に対してはGekelerのde Rhamコホモロジーを用いた手法で研究を行ったが，この手法では求める結果が得られなさそうだということが分かった．Drinfeld保型形式の傾斜に関する，前年度に行った研究で，レベル構造付きDrinfeld加群の自己双対を証明したが，そのような自己双対性は一般には期待できない．本年度はその代替物として，D楕円層の行列式が定めるGalois表現とCarlitz指標が結びつくことを示した．