Construction of relatively cuspidal representations attached to symmetric varieties over local fields

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本研究は局所体上の対称空間に付随した「相対尖点表現」の系統立てた構成法を探求するものである。このクラスの表現は対称空間に付随するすべての既約表現のいわば building block となるものであり、対称空間の調和解析における基本構成単位とも捉えられる重要なクラスであるが、既知の実例は少ない。本研究は相対的楕円トーラスと関係した特殊な対合安定放物部分群からの誘導表現によって通常尖点的でない相対尖点表現の新しい系列を組織的に提供しようとするものである。計画初年度にこの方向で、一般線型群の内部対合およびガロア対合の場合で得られた研究成果を発表した。2年目、3年目の課題は同様の手法を一般線型群の斜交・ 直交・ユニタリ対合の場合に適用することであった。対合の同値類分類が基礎体の影響で複雑となることもあり、まずはできるだけ簡潔に処理できる具体例（偶数次元の特定の形式で定まる場合）に絞って探ったものの、Siegel型放物部分群からの１種類の系列しか得られず、これは斜交対合では発見済みのものであって本質的には新たな成果とは言い難い。通常尖点的でない相対尖点表現はこの一系列に限られるという可能性もある。計画初年度にはまた、「対合分裂な放物部分群からの誘導はジェネリックには相対尖点的にならない」という一般的な定理を発表できており、この成果を用いて相対尖点的でないと判定できる誘導表現のクラスを調べ上げる研究も行ったが、判定不能な例外箇所の状況を明らかにできず、成果は部分的なものにとどまっている。成功した例とともに、直面しているこれらの困難とそれに対するアプローチの現状について、2022年12月の「大阪大学整数論・保型型式セミナー」で発表した（口頭発表、60分）。