スタンレー・ライスナー環とエールハルト環の理論の発展的統合

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凸多面体から定義されるエールハルト環、および、単体複体から定義されるスタンレー・ライスナー環は、どちらも組み合わせ的可換環論の重要な研究対象である。スタンレー・ライスナー環は、頂点の個数だけ変数を持つ多項式環を、単体複体に対応した単項式で生成されるイデアルで割った剰余環として定義されるが、そのスタンレー・ライスナー環を定義する単体複体の、各極大面に注目すると、それに含まれる頂点に対応する変数で生成される、スタンレー・ライスナー環の部分環は多項式環であり、スタンレー・ライスナー環は、これら多項式環を、２つの単項式の積を、それらを共に含む多項式環が存在する場合にはその多項式環における積、それ以外の場合には０と定義することによってつなぎ合わせたものと考えることもできる。この方法により環をつなぎ合わせることは、多項式環に限らずつなぎ合わせるために必要な幾何学的情報があれば可能である。とくに、多項式環は正規化体積が１の単体のエールハルト環であることを念頭におけば、単体複体を多面体複体に一般化し、各極大面に対応する環をその凸多面体のエールハルト環に一般化することは自然な考えであろう。実際に、私は日比環に関する研究の中で、日比環のキャノニカルイデアルのファイバーコーンがこの形の環になっていることが示した。また、最近になって、何人かの研究者がこの形の環を研究し始めた。彼らの間では、この形の環をトーリックフェイス環と呼ぶのが一般的なようである。トーリックフェイス環の研究は、まだ緒についたばかりの感があり、様々な研究者がいろいろな方面からのアプローチを試みている。本研究もそのような研究の１つということになるが、令和４年度においては、様々な凸多面体のエールハルト環を調べる方向からのアプローチをとった。その結果、有限グラフのステーブルセット多面体のエールハルト環に関するいくつかの結果を得た。