Complementary study on dynamical systems and foliations using methods of partially ordered set and general topology

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これまで力学系理論において，どのような流れがジェネリックかという問題や構造安定であるかという問題は活発に研究されてきた．特に，低次元の力学系に対して位相不変量が構成され，その分類が行われている．他方，表現が良くないと，調べたい対象の位相不変量の計算が困難となる場合があるので，計算に適したものを構成する必要がある．学術的な問いとして，(1) 流れの位相不変量の精密化，(2) より広いクラスの力学系に適用できる位相不変量の構成，(3) 有限的に表現されていない位相不変量の有限的な表現への縮約，(4) 流れの位相不変量の計算に適した表現の構成，(5) 流れの位相不変量を用いた遷移グラフの構成，(6) 遷移グラフや分岐図を用いた力学系のトポロジカルな解析，を中心に扱う．本年度は，初年度に途中経過をモスクワ大学のセミナーで報告したMorse-Smale流の遷移を記述する基礎に関する理論を構築し，その内容について論文を出版した．さらに，既存の曲面上のHamilton流の位相不変量の表現を精密化し，曲面上の"有限的な"流れに対する表現を構成し，より広いクラスの流体現象を解析できる枠組みを構築した．特に，計算機上に実装しやすいような計算に適した表現を構築した．この内容について論文を出版した．また，遷移グラフを用いた力学系のトポロジカルな解析を行う上で，極限集合に関する情報は力学系を理解して解析する上で重要であるが，時間定常な流れにおいて，正の時間極限と負の時間極限における極限集合の形に依存性があることを発見し，その内容について論文を出版した．他方，昨年度に得られた，Morseグラフ，Morse-Smale流の付随するCW複体構造，曲面上のジェネリックなHamilton流のReeb graphの一般化となるような新しい高次元の位相不変量の構成について，国際会議の招待講演において報告をした．