局所変形が与える結び目の幾何・代数の研究

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本研究の目的は結び目の幾何的性質と代数的不変量の関係を局所変形の観点から明らかにすることである．特に多項式不変量と局所変形の関係の解明や，局所変形を通した新しい代数的不変量の開発を課題としている．本年度は主に，神戸大学の比嘉隆二氏，中西康剛氏，佐藤進氏との以前の共同研究において得られた仮想結び目の新しい不変量である交差多項式の性質と局所変形の関係について研究した．仮想結び目には、図式の各実交点にインデックスという整数値を与え，各実交点で，そのインデックスを変数tの指数，その符号をtの係数とする項を作り，すべての実交点での和を取ってできるねじれ多項式という多項式不変量がある. この拡張として，各実交点対に対しある種の交差数を考え，それを指数，その実交点対の符号の積を係数とする項を作り，すべての実交点対での和を取ってできる多項式（に補正を加えたもの）が交差多項式である．この交差多項式と局所変形との新たな関連として，4-変形と呼ばれる局所変形での交差多項式の変化を研究した．4-変形は古典的結び目理論においても注目すべき局所変形である．実際に4-変形で移りあう二つの仮想結び目の交差多項式は同じ指数を持つ項の係数の偶奇が一致することを示した．この性質はねじれ多項式も持つことが知られている．ねじれ多項式では各係数の偶奇が一致する二つの仮想結び目でも，交差多項式では偶奇が一致しない例が確認されるため，ねじれ多項式では分からなかった4-変形で移りあわないペアとなることが分かる．この結果は現在，論文にまとめている．