Determinantal structures in the integrable probability

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昨年度(2021年度)我々はq-Whittaker関数と歪Schur関数についての2つの関係式を導出した．これらの関係式はCauchy等式およびLittlewood等式の精密化とみなせる．今年度はこれらの関係式を，q-push TASEP, ASEP, Log-Gamma polymer, Stochastic heat equation等のKardar-Parisi-Zhangクラスに属するモデル (以後KPZモデルと呼ぶ)に適用し，KPZモデルの観測量の分布およびそれらの極限を得た. 精密化Cauchy等式から上記のモデルの分布関数のFredholm行列式表示を得た．精密化Cauchy等式によって，KPZモデルの分布関数を周期的Schur測度と呼ばれる行列式点過程の分布関数で表されることが本質的に重要である．さらに精密化Littlewood等式から半空間上で定義された上記のKPZモデルの分布関数のFredholm Pfaffian表示を得た．またLog-Gamma polymer, Stochastic heat equationについて分布関数のKPZスケーリング極限を得た．半空間KPZモデルの数学的に厳密な解析はこれまで知られていなかった．我々は，精密化Littlewood等式を用いて，半空間KPZモデルの分布関数が自由境界Schur測度と呼ばれるPfaffian点過程の分布関数で表されることに着目し，Fredholm Pfaffian公式およびその極限を得ることに成功した．