Asymptotic analysis of nonlinear dispersive equations with critical nonlinearities

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非線形熱方程式を非線形境界条件下で研究し、解の漸近的振る舞い及び解の有限時間爆発について明らかにした。分数冪非線形シュレディンガー方程式の初期値問題の研究を分数冪が3/2と2の間にあるとき行い、修正散乱現象が起こることを示した。この事実は3次の非線形項が臨界冪であることを示している。分数冪非線形シュレディンガー方程式の初期値問題の研究を分数冪が2と5/2の間にあり非線形項が反発項として働くときの研究を行い、解の漸近的振る舞いが通常の非線形シュレディンガー方程式の解の振る舞いと異なることを示した。上述の結果と合わせると分数冪の階数が2を一つの臨界値となっていることを示している。２次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の周期問題を研究し、初期値が周期条件を満たし小さいとき、解の時間減衰評価を明確にした。分数冪 modified Korteweg-de Vries方程式の解の振る舞いについて、分数冪の階数が2と4にあるとき研究を行い、初期条件が零質量条件を満たし小さいとき、解の漸近公式を示した。階数が3のときが古典的なmodified Korteweg-de Vries方程式と呼ばれるものである。Hartree typeの非線形項を持つ非局所シュレディンガー方程式の初期値問題の研究を一次元空間で行い、従来の研究で用いられた発展作用素の因数分解公式が、修正を加えることによりより一般の問題に対しても援用できることを示した。一次元シュレディンガー方程式の非線形 Neumann境界値問題の研究の研究を行い、冪乗型非線形項の階数が2を超えるとき、スケール不変な空間において時間大域解の存在を示した。また階数が1と2の間にあるとき小さい解が有限時間爆発することを示した。この事実は２次の非線形項が臨界指数であることを示している。