Mathematical analysis for surface waves arising from body waves and its applications

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逆問題における囲い込み法は、調査対象の内部の空洞や介在物までの距離や形状などを偏微分方程式から引き出す手法の一つで、指示関数を導入し、そのパラメーターを大きくした場合の漸近挙動から情報を得る方法である。この方法により行われてきた多くの研究において、調査対象の障害物に対し、穴の境界条件や異物の密度などに同質性の仮定がおかれ、指示間数の符号が一定になる場合のみが考察されてきた。そこで今回はこの仮定を除いて、Dirichlet境界条件、Neumann境界条件などの複数種の穴が混在する場合に、波動方程式を用いてそれらの穴についての情報を引き出すことを目的として研究を行った。成果の一つ目として、時間微分についてラプラス変換を行った波動方程式に対する楕円型評価による方法で、複数種の穴が混在している場合についても観測点から障害物までの最短距離と穴の種類に関する情報を引き出せることがわかった。これは過去の研究で主に用いられてきた方法であるが、今まで以上に精密な評価を行うことにより可能となることがわかった。ただし、例えば観測地から穴までの最短距離が、Dirichlet境界条件の穴とNeumann境界条件の穴の両方で同じになる場合は扱えない。そこで次の研究として、散乱理論においてよく用いられる漸近解(近似解)を構成し、その表示を指示関数の解析に取り入れた。これによって得られた指示関数の漸近展開の初項に着目すると、Dirichlet境界条件の穴とNeumann境界条件の穴が観測地から同じ距離にある場合、それぞれの表面の幾何的形状に関する値の差が漸近展開の初項に現れ、曲率が小さく曲率半径の大きい穴の方が最短の穴として観測されるという結果になった。このときに昨年度まで大きな問題として残っていた、穴の境界の滑らかさについての課題も一定の解決を見ることができた。