Study on Analytic Cellular Automata

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「微分方程式と同水準の解析が可能な」セル・オートマトンの一群の構築およびその解析を行うこと、そのセル・オートマトンを現実問題に適用し、微分方程式に替わる新しい数理モデルとして活用すること、が研究の目的である。具体的には、偏微分方程式のうち、反応拡散方程式に対応するセル・オートマトンとして研究代表者が提案した「Max型拡散セル・オートマトン」について、解析のための理論を確立し諸性質を解明すること、および「Max型拡散セル・オートマトン」を現実の反応拡散現象の数理モデルに応用することで様々な反応拡散現象の本質的な発生機構を解明すること、である。当該年度においては、競争拡散方程式の離散化、セル・オートマトン化に関する研究を行った。競争拡散方程式は競争的な関係にある2種の生物種が共に拡散しながら繁殖を行う現象を表す方程式である。競争拡散方程式にトロピカル差分化の手法を適用することにより、Max型拡散セル・オートマトンの一つが導出されることを示し、競争拡散方程式と同様の進行解を持つことを示した。また、競争拡散方程式には2つの解に適当な順序関係を定めると時間発展後も2つの解がその順序関係を保つという性質がある。そのMax型拡散セル・オートマトンについて、順序保存性があることを示した。これらの研究成果について、論文誌に論文を掲載した。また、ナヴィエ-ストークス方程式の離散化に関する研究を行った。ナヴィエ-ストークス方程式は実際の流体の運動をきわめて精確に近似しており、気象予測や船舶・航空工学をはじめ、さまざまな分野で重要な微分方程式である。ナヴィエ-ストークス方程式の超離散化可能な離散化を提案した。超離散化した方程式は簡便かつ有用な数理モデルとしての活用が期待される。これらの研究成果について、研究集会で発表を行った。