Refinement of convergence theorems of nonlinear integrals with applications to the topological properties of function spaces determined by nonlinear integrals

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１．実数値可測関数全体からなる線形空間上には，非加法的測度μを用いて定義されたSugeno積分型，Choquet積分型，Ky-Fan型，Dunford-Schwartz型の球（ball）の他に，AssaとZimperが導入した距離関数を用いない球から導入された５つの位相が提案されている．この研究では，これら５つの位相を比較し，次の結果を得た．(a)μが有限ならば，これら５つの位相はすべて一致する．(b)これらの位相が第１可算公理を満たし，位相に関する収束とμ-測度収束とが同値となるための必要十分条件は，球が位相の基本近傍系となることである．(c)μが上から連続かつ上から自己連続ならば，AssaとZimperが導入した球は常に開集合となる．２．非加法的測度μによるSugeno積分を用いて定義したLorentz空間（以下ではSL空間とよぶ）の性質を調べ，次の結果を得た．(a)μが擬距離生成的かつ下から単調自己連続で性質(C)をもてば，SL空間は完備である．(b)μが擬距離生成的かつ順序連続で可算基をもてば，SL空間は可分である．(c)Lorentz型の擬距離が定める位相（以下ではSL位相という）に関して，開球が開集合となるための必要十分条件はμの上からの自己連続性，閉球が閉集合となるための必要十分条件はμの下からの自己連続性である．(d)SL位相はLorentz型の関数空間を定める際の指数によらずただ一つに定まる．(e)SL空間は，μが上から自己連続ならばT1空間，μが上から自己連続かつ擬距離生成的ならばHausdorff空間，μが自己連続ならば正則空間，μが反対称緩劣加法的ならば正規空間となる．(f)μが劣加法的ならば，SL空間は距離付け可能である．(g)μが順序連続かつ上から自己連続で緩劣加法的ならば，SL空間は開球条件を満たす線形位相空間である．