拡散過程の到達時間分布と数理ファイナンスへの応用

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本研究では確率過程の到達時間分布を考える．金融市場における債権などの価格や，派生するリスク，保険は拡散過程やレヴィー過程によってモデル化される．確率過程がある範囲に到達する時間の分布を得ること，およびその性質を明らかにすることを目標としている．到達時間は境界における過程の分布に関する対称性を用いることにより，分布関数が経路依存のない形，つまり確率過程が最後の時間にいる場所の情報のみで与えられる期待値と表される．確率過程と到達する領域によって与えられるCarr-Nadtochiy 変換を調べることにより，到達時間の分布関数に対して対称性が成り立つことがわかっている．この対称性を用いることにより，金融派生商品価格の数値計算手法をはじめ様々な分野への応用を発見することを考える．今年度の業績は，分布の対称性とskorokhod embedding 問題との関係について明らかにしたことである．skorokhod embedding 問題とは，任意の法則に対して，時間変更されたブラウン運動その分布を持つための停止時間を考えることである．分布に対して得られる停止時間はある到達時間であることが知られているが，この研究では停止時刻最初に到達する領域の形状から法則を特徴付けられることを示した．本結果においては限られた場合についてのみ扱っているが，ブラウン運動の到達時間から得られる分布を特徴つけることができたこと，またブラウン運動の対称性と到達時間分布との関係性を到達領域から明らかにすることへとつながることが期待できる．