偏微分方程式と有限要素近似に関する精度保証付き数値計算法の発展とその自動化の研究

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本研究課題は，偏微分方程式の厳密解の存在範囲もしくは一意存在の範囲を，計算機を用いて自動的に求める精度保証付き数値計算法の研究を行うものである．主に時間発展をともなう放物型偏微分方程式の周期境界値問題を対象とし，「基本解行列の厳密計算を応用した偏微分方程式の解の存在証明手法の改良」「解の存在証明とともに有限要素近似解の誤差評価も行う手法の導出」を目標として研究を進めてきた．このうち「基本解行列の厳密計算を応用した偏微分方程式の解の存在証明手法の改良」については，これまでに論文一篇が国際的な査読付き学術誌に掲載受理されている．本年度は，２つ目の目標である「解の存在証明とともに有限要素近似解の誤差評価も行う手法の導出」に関連して，空間方向の離散化は有限要素法のまま，時間方向の離散化に有限要素法やフーリエ展開を用いる誤差評価法について研究を進めてきた．特に，時間方向にフーリエ展開を用いる誤差評価については一定の成果を得られている．この手法は，スペクトル法による数値解に対する誤差評価を与えるものであり，パラメータを決定すれば数値解を計算しなくても誤差の上限がわかる事前誤差評価法であり，数値例においては実際の誤差と同じオーダーで誤差評価できるという意味でのオーダー最良な誤差評価法である．この手法についてまとめた論文一篇を国際的な査読付き学術誌に投稿し，現在は査読者のコメントに従って修正を行っている．加えて，本研究のこれまでの成果について，来年度に開催予定の査読付き国際会議に発表申込を行っている．