超対称ゲージ理論の双対性とコンパクト化

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2，3，4次元における超対称ゲージ理論が双対性とコンパクト化によってどの様に関係しているのか、特に、異なる次元の理論の演算子(局所演算子や線や面などに台を持つ高次元演算子や境界条件など)がどの様に対応するのか、を明らかにすることが本研究の目的である。令和4年度は3次元超対称ゲージ理論における線演算子の理解を目指して以下の研究を行った。演算子を分類する方法として「状態・演算子対応」がある。共形場の理論においては、局所演算子と球面上の状態の対応が知られているが線や面に台を持つ演算子に対してはそのような対応関係が存在しないことが指摘されている。一方、超対称場の理論におけるBPS演算子に対してはそのような対応が台の次元に関わりなく存在することを認識した。特に３次元理論においては線演算子のコホモロジー類とトーラス上の状態のコホモロジー類との間の対応関係が存在することがわかった。また、演算子を調べる方法の一つとしてそれらの相関関数を計算することが挙げられる。特に超対称性が部分的に保たれる状況においては「超対称局所化の方法」により厳密計算が可能になる場合がある。その方法において重要となる超対称な背景についての一般論の理解に努めた。以上は研究協力者の末武佑涼さんと共同で行った。３次元理論の線演算子を理解するために４次元理論の面演算子について知られていることからヒントを得ることも考えられる。４次元N=4超対称ゲージ理論の面演算子について数学的な立場から研究を行っているKIASのYaoxiong Wenさんを招待し、その分類や性質について学んだ。また、サイバーグ双対性が数学において「射影双対性」と呼ばれるものと似たパターンを持っていることが以前から指摘されていた。これらの明確な関係を求めて、射影双対性の舞台である「射影幾何学」を理解することに着手した。