スペクトル掛け算作用素の有界性とその関数空間論への応用

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スペクトル掛け算作用素とは, 自己共役作用素のスペクトル分解によって定義される作用素の関数のことである. この作用素はフーリエ掛け算作用素の一般化になっており, 様々な設定で偏微分方程式や関数空間を扱うことを可能にする. 本研究は, この作用素を用いて抽象的な枠組みで関数空間を定義し, 非線形偏微分方程式の理論に応用することを目指している.今年度は, 測度距離空間上における自己共役作用素により定義されるソボレフ空間・ベゾフ空間に関する双線形評価式や各種関数不等式の研究を行った. 自己共役作用素に関して, その熱半群が generalized Gaussian estimates を満たすという仮定を課している. この仮定を満たす自己共役作用素は数多く知られている. 例えば, ディリクレラプラシアン, シュレーディンガー作用素, ラプラス・ベルトラミ作用素, 分数階ラプラシアンなどがある. さらに, 測度距離空間上の消散型波動方程式をスペクトル理論に基づいて研究した. 線形消散型波動方程式の解に対するLp-Lq 評価式を証明し, この結果を応用して, 冪乗型非線形項をもつ消散型波動方程式の小さい初期値に対する時間大域解の存在を示した. 本結果は方程式の主要部が通常のラプラシアンだけではなく, 上記で述べた各種自己共役作用素に置き換えた方程式に対する結果も含んでいる. 現在, 本結果に関する論文を執筆中であり, 海外の学術雑誌に投稿する予定である. 今後は, 測度距離空間上の波動方程式の Lp 評価式の研究に取り組む予定である. この Lp 評価式が確立されれば上述の消散型波動方程式の研究成果を改良することが可能である.