位相的データ解析のためのランダム複体過程の幾何学的構造の解明

阐明拓扑数据分析的随机复杂过程的几何结构

• 批准号: 19J11237
• 负责人: 金澤 秀
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-25 至 2021-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19J11237/
• 关键词: 位相的データ解析; ランダム単体複体; Betti数

位相的データ解析では、典型的な例として、原子配置データのような空間上の点配置データに対して適切な手順を踏むことで、点配置データの形をよく反映する幾何学的対象である単体複体を構成し、その特徴をトポロジーという幾何学的な視点から定量的に記述し解析する。ところが、原子配置データは様々な物理的制約の下でランダム性を有して得られる点配置データであるため、ランダム性を有する単体複体、すなはちランダム単体複体の幾何学的特徴についての理解が近年益々重要になってきている。このような背景の下で、本年度はランダム単体複体の位相的性質及び位相不変量の確率的な挙動の理解を大きく進展させ、位相的データ解析の数学的基盤研究に貢献した。以下で成果についてより具体的に述べる。多くのランダム単体複体モデルでは、モデルを制御するパラメータの変化に伴い、高次元穴が急激に発生するパラメータ領域と発生した高次元穴が急激に消滅するパラメータ領域とがある。このように二種類の位相的相転移、つまり位相的性質が急激に変化するパラメータ領域があることはランダム単体複体モデル特有の現象であり、この現象の理解が当該研究において重要な課題であった。本年度は、組み合わせ論的に構成される多くのランダム単体複体モデルを特殊な場合として含む、ある広いクラスのランダム単体複体モデルにおいて、高次元穴発生の相転移が起こる条件を制御パラメータの言葉で明確に記述した。

在拓扑数据中，作为一个典型的例子，通过对空间中的点排列数据采取适当的步骤，例如原子布置数据，构建了单个复合物，这是一个几何对象，它反映了点排列数据的形状，其特征是定量描述的，并从几何学角度进行了定量描述和分析。但是，由于原子排列数据是在各种物理约束下以随机性获得的点布置数据，因此了解随机性单个复合物的几何特征或随机单个复合物，近年来变得越来越重要。在这种背景下，今年极大地改善了我们对随机单个复合物的拓扑特性以及相位不变的概率行为的理解，这有助于对拓扑数据分析的数学基础研究。下面我们将解释更具体的结果。在许多随机的单个复杂模型中，有一个参数区域突然出现高维孔，并且一个参数区域突然随着控制模型变化的参数而突然消失的参数区域。这是一个事实，即两种类型的拓扑相变，即拓扑特性迅速变化的参数区域，是随机单个复杂模型独有的现象，并且理解这种现象在研究中是一个重要的问题。今年，在一系列随机的单个复杂模型中，包括以特殊情况为组合构建的许多随机单个复杂模型，在控制参数的术语中清楚地描述了高维孔产生的相变的条件。

项目成果

A limit theorem for Betti numbers of homogeneous and spatially independent random simplicial complexes

齐次且空间独立的随机单纯复形贝蒂数的极限定理

• 发表时间: 2020
• 作者: Yoshimura;N.;Yonemitsu;F.;& Yamada;Y.;Kazuki Ikeda;Daichi Takeuchi;長岡高広;佐々木恭志郎・米満文哉・山田祐樹;米満文哉・山田祐樹;長岡高広;米満文哉・佐々木恭志郎・郷原皓彦・小杉考司・山田祐樹;米満文哉;米満文哉・山田祐樹;Shu Kanazawa
• 通讯作者: Shu Kanazawa

Law of large numbers for Betti numbers of homogeneous and spatially independent random simplicial complexes

同质且空间独立的随机单纯复形 Betti 数的大数定律

• 发表时间: 2020
• 作者: Kenta Endo;Shota Inoue;Shota Inoue;Shota Inoue and Isao Kiuchi;Shota Inoue;井上翔太;井上翔太;井上翔太;Shu Kanazawa
• 通讯作者: Shu Kanazawa