位相的データ解析のためのランダム複体過程の幾何学的構造の解明

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位相的データ解析では、典型的な例として、原子配置データのような空間上の点配置データに対して適切な手順を踏むことで、点配置データの形をよく反映する幾何学的対象である単体複体を構成し、その特徴をトポロジーという幾何学的な視点から定量的に記述し解析する。ところが、原子配置データは様々な物理的制約の下でランダム性を有して得られる点配置データであるため、ランダム性を有する単体複体、すなはちランダム単体複体の幾何学的特徴についての理解が近年益々重要になってきている。このような背景の下で、本年度はランダム単体複体の位相的性質及び位相不変量の確率的な挙動の理解を大きく進展させ、位相的データ解析の数学的基盤研究に貢献した。以下で成果についてより具体的に述べる。多くのランダム単体複体モデルでは、モデルを制御するパラメータの変化に伴い、高次元穴が急激に発生するパラメータ領域と発生した高次元穴が急激に消滅するパラメータ領域とがある。このように二種類の位相的相転移、つまり位相的性質が急激に変化するパラメータ領域があることはランダム単体複体モデル特有の現象であり、この現象の理解が当該研究において重要な課題であった。本年度は、組み合わせ論的に構成される多くのランダム単体複体モデルを特殊な場合として含む、ある広いクラスのランダム単体複体モデルにおいて、高次元穴発生の相転移が起こる条件を制御パラメータの言葉で明確に記述した。