A Study on Complex Ginzburg-Landau Equations Based on the Theory of Parabolic Equations

本課題では複素Ginzburg-Landau方程式(CGL)に対し，非線型放物型方程式の摂動論の観点から解析を行った．方程式(CGL)は，非線型性の強さを表す指数，係数である２つの複素パラメタ，１つの実パラメタで特徴付けられる．特に，冪乗型非線型項の前の複素パラメタ実部が解の時間大域的存在／有限時間爆発解の存在を切り替え，実パラメタの大きさは，自明解の安定性や関連した時間周期解の存在を変化させる．方程式(CGL)は相転移現象や化学反応等の，不安定化を示す現象の臨界点付近の時空間挙動を記述する方程式として導入された．その為，時間大域解の存在や，方程式の安定性が期待される．また，Kuramoto-Tsuzuki (1976)により(CGL)の更なる縮約方程式としてKuramoto-Sivashinsky方程式(KS)が得られる事が知られている．本年度は，非線型項の前の複素パラメタ実部が正の場合の一般領域上での時間周期解の存在を劣線型の場合へ拡張する事に成功した．この非線型項の指数が劣線型であるという条件の元では，非線型項の冪乗関数の可微分性が低く，一階微分の凸性が優線型の場合と異なる為に，評価が難しくなる．しかし，優線型の場合に成り立つ拡散項と非線型項の角度条件が劣線型の場合にも成立する事を示し，これを基にエネルギー評価を得て，時間周期解の構成に成功した．一方で，非線型項の前の複素パラメタ実部が負の場合に対し，一般領域上で時間周期問題を考える事は，コンパクト性の欠如による影響が大きく，難しい．そこで，より強い拡散効果を示す空間４階の微分の項を持つ関連した方程式(KS)を考察し，突破口を与えられないか検討している．本年度は，方程式(KS)を考える先ず第一歩として３次元以下の有界領域上に於ける初期値境界値問題を取り扱い，一意時間局所解の存在を示した．

本課題では複素Ginzburg-Landau方程式(CGL)に対し，非線型放物型方程式の摂動論の観点から解析を行った．方程式(CGL)は，非線型性の強さを表す指数，係数である２つの複素パラメタ，１つの実パラメタで特徴付けられる．特に，冪乗型非線型項の前の複素パラメタ実部が解の時間大域的存在／有限時間爆発解の存在を切り替え，実パラメタの大きさは，自明解の安定性や関連した時間周期解の存在を変化させる．方程式(CGL)は相転移現象や化学反応等の，不安定化を示す現象の臨界点付近の時空間挙動を記述する方程式として導入された．その為，時間大域解の存在や，方程式の安定性が期待される．また，Kuramoto-Tsuzuki (1976)により(CGL)の更なる縮約方程式としてKuramoto-Sivashinsky方程式(KS)が得られる事が知られている．本年度は，非線型項の前の複素パラメタ実部が正の場合の一般領域上での時間周期解の存在を劣線型の場合へ拡張する事に成功した．この非線型項の指数が劣線型であるという条件の元では，非線型項の冪乗関数の可微分性が低く，一階微分の凸性が優線型の場合と異なる為に，評価が難しくなる．しかし，優線型の場合に成り立つ拡散項と非線型項の角度条件が劣線型の場合にも成立する事を示し，これを基にエネルギー評価を得て，時間周期解の構成に成功した．一方で，非線型項の前の複素パラメタ実部が負の場合に対し，一般領域上で時間周期問題を考える事は，コンパクト性の欠如による影響が大きく，難しい．そこで，より強い拡散効果を示す空間４階の微分の項を持つ関連した方程式(KS)を考察し，突破口を与えられないか検討している．本年度は，方程式(KS)を考える先ず第一歩として３次元以下の有界領域上に於ける初期値境界値問題を取り扱い，一意時間局所解の存在を示した．