Explicit construction of Hodge complexes of algebraic varieties and applicationa

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1. コンパクトでスムースな代数多様体Xと正規交叉因子Yに対し, Hodge複体E(X-Y)であって， 次の性質を満たすものを構成した． 一般にHodge複体Eは，　Q-部分(フィルターづけをもつQ上の複体)と C-部分(２つのフィルターづけをもつC上の複体)およびその間の比較同型からなり，そのコホモロジーにHodge構造を与える構造物である．Deligne-Beilinsonの構成した「抽象的」Hodge複体は空間 X-YのコホモロジーのHodge構造を与える.(a) E(X-Y)のQー部分は, 空間対(X, Y)上の位相的なチェインのなす複体である(そのため計算に有用である).　(b) E(X-Y)のCー部分は， 　XおよびY上のカレントの複体と，その間の自然な包含射を用いて記述され, ウェイトフィルターづけは自然に与えられる．　(c) E(X-Y)は空間 X-YのコホモロジーのHodge構造を与える．　　　重要な注意として，　Deligne-Beilinsonの「抽象的」Hodge複体は(a)の性質は満たさない．　　また上のE(X-Y)のC-部分の候補として対数的極をもつカレントの複体(J.King) をとると，それはフィルターづけを持たずHodge複体を与えない．　　そのため我々のHodge複体E(X-Y)の構成は新しいものであることが分かる．2. このHodge複体E(X-Y)と, Deligne-Beilinsonによる「抽象的」Hodge複体との間に， Hodge複体としての同型を与えた(これより与えるHodge構造が同型であることも従う).そのために，(i) E(X-Y)のCー部分を層のレベルで考察し，ウェイトフィルターづけと次数による規準的フィルターづけを比較する．(ii) またE(X-Y)のCー部分を対数的微分形式の複体と比較する．