Mordell-Weil Groups of elliptically-fibered Calabi-Yau manifolds

本研究の目標の1つは，楕円曲面のMordell-Weil格子の理論を高次元楕円多様体，すなわち一般ファイバーが楕円曲線であるファイバー空間の構造をもつ高次元多様体に拡張することである．令和4年度は前年度に引き続き，その試金石となる，有理多様体である3次元楕円多様体について，そのModell-Weil群に格子の構造を定義し，それを決定する問題に取り組んだ．３次元以上の楕円ファイバー空間では，射影空間P^n上のWeierstrass方程式で定義された場合でも，その相対極小モデルを得る際に底空間もブローアップする必要があり，まず底空間のPicard群の理解が必要である．従来研究していた，レベル３構造を持つアーベル多様体のモジュライ空間である３次元楕円多様体では，その相対極小モデルの底空間は射影平面を一般の位置にある9点でブローアップして得られるHalphen曲面であり，階数6のMordell-Weil群を持つ．その群にE6型のルート格子と同型な格子の構造を付与できることは前年度すでに示したが，この楕円ファイバー空間の底空間を直線に制限して得られる有理楕円曲面のMordell-Weil格子はE8型のルート格子と同型であり，もとのE6型の格子をその部分格子として含む．これら2つの格子の間には位数3の巡回群が作用しており、その関係は群論的にも数論的にも興味あるものだが，本年度はこの関係を詳細に明らかにし，シンプレクティック群Sp(4,3)との関係も詳しく調べた．本研究では理論物理学との関連から3次元以上の多様体を主な対象としたが，2次元のCalabi-Yau多様体であるK3曲面の研究は近年発達が著しく，その研究成果は理論物理にとっても重要な意味を持つ．そこで，本年度は従来行ってきた楕円K3曲面のMordell-Weil群の応用にも力を入れ，楕円曲線の数論への応用を持つ結果を得た．

本研究の目標の1つは，楕円曲面のMordell-Weil格子の理論を高次元楕円多様体，すなわち一般ファイバーが楕円曲線であるファイバー空間の構造をもつ高次元多様体に拡張することである．令和4年度は前年度に引き続き，その試金石となる，有理多様体である3次元楕円多様体について，そのModell-Weil群に格子の構造を定義し，それを決定する問題に取り組んだ．３次元以上の楕円ファイバー空間では，射影空間P^n上のWeierstrass方程式で定義された場合でも，その相対極小モデルを得る際に底空間もブローアップする必要があり，まず底空間のPicard群の理解が必要である．従来研究していた，レベル３構造を持つアーベル多様体のモジュライ空間である３次元楕円多様体では，その相対極小モデルの底空間は射影平面を一般の位置にある9点でブローアップして得られるHalphen曲面であり，階数6のMordell-Weil群を持つ．その群にE6型のルート格子と同型な格子の構造を付与できることは前年度すでに示したが，この楕円ファイバー空間の底空間を直線に制限して得られる有理楕円曲面のMordell-Weil格子はE8型のルート格子と同型であり，もとのE6型の格子をその部分格子として含む．これら2つの格子の間には位数3の巡回群が作用しており、その関係は群論的にも数論的にも興味あるものだが，本年度はこの関係を詳細に明らかにし，シンプレクティック群Sp(4,3)との関係も詳しく調べた．本研究では理論物理学との関連から3次元以上の多様体を主な対象としたが，2次元のCalabi-Yau多様体であるK3曲面の研究は近年発達が著しく，その研究成果は理論物理にとっても重要な意味を持つ．そこで，本年度は従来行ってきた楕円K3曲面のMordell-Weil群の応用にも力を入れ，楕円曲線の数論への応用を持つ結果を得た．