微分幾何学的視点からの情報幾何学の再構築

微分几何视角重构信息几何

• 批准号: 19K03489
• 负责人: 松添 博
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Nagoya Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K03489/
• 关键词: 情報幾何学; 統計多様体; アファイン分布; Markov埋め込み

曲線や曲面など，曲がった図形の概念を高次元化したものを多様体とよぶ．情報幾何学では確率分布などを高次元空間内の点だと考え，抽象的な情報の空間を多様体とみなす．これまでの情報幾何学の研究は，曲がった空間の内積に相当するリーマン計量や，微分に相当するアファイン接続を，情報空間のなす多様体に適用するものがほとんどであった．そこで本研究は，情報空間に構成される統計多様体の系列や，シンプレクティック構造など，情報幾何学に対する高次幾何学構造の数学的基礎の構築を目指す．さらに，情報幾何学における数学的基礎の諸分野への応用も検討する．2022年度は前年度から引き続き，アファイン分布論の構成とコントラスト関数，プレ・コントラスト関数の幾何学的構造の解明を中心に取り組んだ．コントラスト関数とプレ・コントラスト関数の幾何学の背景にはアファイン接続の双対性がある．情報幾何学のこれまでの研究は，この双対性は基本的にはFisher計量をはじめとする情報計量に関するものであった．そこで，何をもって双対と定義するべきかという情報幾何学の生い立ちにまで立ち返り，アファイン接続の双対性とプレ・コントラスト関数の幾何学との関連を検討した．アファイン分布論で重要となる擬似統計多様体では，右双対性と左双対性という2種類の双対性が現れるが，その違いの有用性についても検討した．さらに，プレ・コントラスト関数がコントラスト関数となるための可積分性などについても，アファイン接続の双対性という視点から再検討した．

歧管是增加弯曲图形（例如弯曲线和表面）的概念的歧管。在信息几何形状中，概率分布和其他事物在高维空间中被视为点，抽象信息空间被视为歧管。先前对信息几何形状的研究主要应用了Riemann指标，这些指标与曲面空间的点产物相对应，而与差分相对应的仿射连接对应于信息空间。因此，这项研究旨在为信息几何形状建立数学基础，例如在信息空间和符号结构中构成的一系列统计流形。此外，我们还将研究信息几何学在各个领域中数学基础的应用。在2022年，我们从上一年开始，重点是阐明AFINE分布理论的结构以及对比函数和前对比函数的几何结构。对比度和前对比函数的几何形状的背景是仿射连接的二元性。先前对信息几何形状的研究表明，这种二元性与信息指标（包括费舍尔指标）基本相关。因此，我们回到了信息几何形状的背景，这是应定义为二元性的，并检查了仿射连接二元性与前对比函数的几何形状之间的关系。在仿生理论中很重要的伪静态歧管中，出现了两种类型的二元性：右对偶性和左偶性，但我们还研究了这些差异的有用性。此外，我们从仿射连接的双重性的角度重新审查了前对比函数的整合性作为对比函数。

项目成果

Istituto dei Sistemi Complessi (ISC-CNR)/Politecnico di Torino(イタリア)

Istituto dei Sistemi Complessi (ISC-CNR)/都灵理工大学（意大利）

Geometry of pre-contrast functions

预对比函数的几何

• 发表时间: 2010
• 作者: Kentaro Ito;Yoshiaki Araki;Kentaro Ito;Hiroshi Matsuzoe
• 通讯作者: Hiroshi Matsuzoe

Geometry of quasi-statistical manifolds and geometric pre-divergences

准统计流形的几何和几何预散度

• 发表时间: 2022
• 作者: Akihiro Higashitani;Kazuki Kurimoto;Mikiya Masuda;合田洋;Hiroshi Teramoto;Hiroshi Matsuzoe
• 通讯作者: Hiroshi Matsuzoe

On the canonical distributions of a thermal particle in a generalized velocity-dependent potential

关于广义速度相关势中热粒子的正则分布

• DOI: 10.1016/j.physa.2019.123273
• 发表时间: 2020
• 期刊: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications
• 作者: Wada Tatsuaki;Scarfone Antonio M.;Matsuzoe Hiroshi
• 通讯作者: Matsuzoe Hiroshi

プレ・コントラスト関数の幾何学

预对比函数的几何

• 发表时间: 2022
• 作者: Eunjeong Lee;Mikiya Masuda;and Seonjeong Park;寺本 央;松添 博
• 通讯作者: 松添 博