微分幾何学的視点からの情報幾何学の再構築

曲線や曲面など，曲がった図形の概念を高次元化したものを多様体とよぶ．情報幾何学では確率分布などを高次元空間内の点だと考え，抽象的な情報の空間を多様体とみなす．これまでの情報幾何学の研究は，曲がった空間の内積に相当するリーマン計量や，微分に相当するアファイン接続を，情報空間のなす多様体に適用するものがほとんどであった．そこで本研究は，情報空間に構成される統計多様体の系列や，シンプレクティック構造など，情報幾何学に対する高次幾何学構造の数学的基礎の構築を目指す．さらに，情報幾何学における数学的基礎の諸分野への応用も検討する．2022年度は前年度から引き続き，アファイン分布論の構成とコントラスト関数，プレ・コントラスト関数の幾何学的構造の解明を中心に取り組んだ．コントラスト関数とプレ・コントラスト関数の幾何学の背景にはアファイン接続の双対性がある．情報幾何学のこれまでの研究は，この双対性は基本的にはFisher計量をはじめとする情報計量に関するものであった．そこで，何をもって双対と定義するべきかという情報幾何学の生い立ちにまで立ち返り，アファイン接続の双対性とプレ・コントラスト関数の幾何学との関連を検討した．アファイン分布論で重要となる擬似統計多様体では，右双対性と左双対性という2種類の双対性が現れるが，その違いの有用性についても検討した．さらに，プレ・コントラスト関数がコントラスト関数となるための可積分性などについても，アファイン接続の双対性という視点から再検討した．

曲線や曲面など，曲がった図形の概念を高次元化したものを多様体とよぶ．情報幾何学では確率分布などを高次元空間内の点だと考え，抽象的な情報の空間を多様体とみなす．これまでの情報幾何学の研究は，曲がった空間の内積に相当するリーマン計量や，微分に相当するアファイン接続を，情報空間のなす多様体に適用するものがほとんどであった．そこで本研究は，情報空間に構成される統計多様体の系列や，シンプレクティック構造など，情報幾何学に対する高次幾何学構造の数学的基礎の構築を目指す．さらに，情報幾何学における数学的基礎の諸分野への応用も検討する．2022年度は前年度から引き続き，アファイン分布論の構成とコントラスト関数，プレ・コントラスト関数の幾何学的構造の解明を中心に取り組んだ．コントラスト関数とプレ・コントラスト関数の幾何学の背景にはアファイン接続の双対性がある．情報幾何学のこれまでの研究は，この双対性は基本的にはFisher計量をはじめとする情報計量に関するものであった．そこで，何をもって双対と定義するべきかという情報幾何学の生い立ちにまで立ち返り，アファイン接続の双対性とプレ・コントラスト関数の幾何学との関連を検討した．アファイン分布論で重要となる擬似統計多様体では，右双対性と左双対性という2種類の双対性が現れるが，その違いの有用性についても検討した．さらに，プレ・コントラスト関数がコントラスト関数となるための可積分性などについても，アファイン接続の双対性という視点から再検討した．