複素統計多様体上のコントラスト関数の構成と応用

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本研究の目的は情報幾何学に現れる幾何構造を再検討し,その基礎理論を構築することであった.従来の情報幾何学と微分幾何学の一般論を統合することにより,複素統計多様体上にコントラスト関数を構成し,複素多様体上の様々な共形構造の解明を目標とした.特に今年度はHermit計量を持つ統計多様体上にコントラスト関数を構成し,その幾何学的性質を解明し,さらにその結果を応用することであった.Hermit計量を持つ複素多様体上にコントラスト関数を構成することは今一歩で結果が出ていないが,今年度はコントラスト関数の応用については数多くの結果が得られた.まず第1の結果として,コントラスト関数から決まる距離型の関数を用いて,(-1)-共形平坦な統計多様体上にVoronoi図を構成した.これは,コントラスト関数から自然に決まる曲率型のテンソルと,統計多様体の共形平坦性、具体的なVoronoi図構成のアルゴリズムの性質など,様々な要因が非常に上手く合さった結果であり,大変に有意義なものと思われる.また,ガンマ分布族のなす統計多様体について,その幾何学を解明した.特に幾何学的なダイバージェンスと統計学的なダイバージェエンスの関係,エントロピーの幾何学的意味など,多くの結果が得られた.今回得られた結果は,統計的推論や検定理論,情報理論などへのさらなる応用が期待されている.今後の研究が待たれるところである.Hermite計量を持つ統計多様体上のコントラスト関数も,近日中に結果が得られるものと期待している.