Study on curvatures from the viewpoint of new convexities and its application to geometric analysis

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熱流に関する幾何解析、とくに形状保存則に関する解析を進めた。具体的には、石毛和弘氏（東京大学）とPaolo Salani 氏（フィレンツェ大学）との共同研究を進め、その結果、三編の共著論文が出版された。共著論文の一つである「Hierarchy of deformations in concavity」では、情報幾何の概念である変形対数関数族に関する考察を深め、凹性の観点から変形対数関数族に対する階層構造を与えた。この階層構造は、凸関数の分類である displacement convexity class に対応する。そして displacement convexity class は、最適輸送理論を用いて空間のリッチ曲率の下限および上限を調べる際に中心的役割を担う。そこで今後は、この階層構造を用いた曲率に関する幾何解析を展開することを目指す。また、両氏との他の共同研究として、ユークリッド空間の凸領域上のディリクレ熱流下で保たれる凹性に関する必要十分条件を導き出した。以上の共同研究の結果は、学会で講演発表をしている。今後は、この理論をリーマン多様体上の強凸領域上のディリクレ熱流に拡張し、リーマン多様体における Brascamp--Lieb 不等式と熱流下における凹性の保存則の関係を明らかにすることで、リッチ曲率の新たなる性質を導くことを目指す。その他、有限集合上の最適輸送理論の緩和問題、および最適輸送理論が導くユークリッド空間上の確率測度空間上のsliced Wasserstein 距離関数と呼ばれる距離構造の解析を、他の共同研究者と進めている。これらについては現在、投稿準備中である。