Mathematical analysis for Navier-Stokes equations with approximate parameter

今年度は，【課題A】「圧力安定化法による近似問題の解析」においては数値シミュレーションでも対象となっている弱解についての考察を行い，【課題B】「Cattaneo則を用いて導出したNavier-Stokes方程式の解析」においては，近似問題の線形化問題の解析を中心的に行った．【課題A】近似問題の弱解について，圧力安定化法による近似問題に対する最大正則性定理を用いて対応する問題の弱解の存在を証明し，弱解が満たすべきエネルギー評価を証明した．また，２次元については，弱解の一意性も証明することができた．ただし，通常のNavier-Stokes方程式の弱解との誤差評価についてはいまだ未解決である．【課題B】神奈川大学の中村憲史氏（研究協力者）とともに近似問題の線形化方程式の解析を行い，近似パラメータを０にすることで考えたい問題の線形化問題の解の存在性と解の評価を求めることができた．非線形問題についてもそれらの考察をもとに進めている．また，関連する課題として時間遅れを考慮に入れたBurgers方程式の解析を進めた．Burgers方程式に対して，初期値にH1かつL1を仮定した場合にH1の時よりもより良い減衰評価を導くことができた．さらに，時間遅れの入れ方を様々に変えた問題についても考察を行い，アプリオリ評価や時間大域解の一意存在性などを証明することができた．これらの解析手法は【課題B】の非線形問題の解析において有効であると考えている．

今年度は，【課題A】「圧力安定化法による近似問題の解析」においては数値シミュレーションでも対象となっている弱解についての考察を行い，【課題B】「Cattaneo則を用いて導出したNavier-Stokes方程式の解析」においては，近似問題の線形化問題の解析を中心的に行った．【課題A】近似問題の弱解について，圧力安定化法による近似問題に対する最大正則性定理を用いて対応する問題の弱解の存在を証明し，弱解が満たすべきエネルギー評価を証明した．また，２次元については，弱解の一意性も証明することができた．ただし，通常のNavier-Stokes方程式の弱解との誤差評価についてはいまだ未解決である．【課題B】神奈川大学の中村憲史氏（研究協力者）とともに近似問題の線形化方程式の解析を行い，近似パラメータを０にすることで考えたい問題の線形化問題の解の存在性と解の評価を求めることができた．非線形問題についてもそれらの考察をもとに進めている．また，関連する課題として時間遅れを考慮に入れたBurgers方程式の解析を進めた．Burgers方程式に対して，初期値にH1かつL1を仮定した場合にH1の時よりもより良い減衰評価を導くことができた．さらに，時間遅れの入れ方を様々に変えた問題についても考察を行い，アプリオリ評価や時間大域解の一意存在性などを証明することができた．これらの解析手法は【課題B】の非線形問題の解析において有効であると考えている．