非線形分散型方程式におけるソリトン解の振動現象と漸近挙動の研究

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今年度は、線形ポテンシャルをもつ1次元非線形クラインゴルドン方程式に関する研究をおこなった。この方程式は、物理学や数学の分野で幅広く研究されており、特に非線形力学において重要な役割を果たしている。また、スカラー場の理論におけるキンク解の漸近安定性を調べるためのトイモデルと見なすこともできる。滑らかな非線形項を考えるとき, 1次元の場合における非線形相互作用は、3次元の場合とは異なる性質を持つ。具体的には、1次元の場合では2次や3次の非線形項は長距離相互作用を示すため、3次元の場合のようにストリッカーツ評価を用いることができない。そのため、本研究ではビリアル評価を用いて、1次元の場合における小さな解の挙動の評価をおこなった。ビリアル評価を用いる場合, 得られる結果はストリッカーツ評価で得られるものより弱くなるがその一方でエネルギー空間において長距離相互作用をもつ非線形項を扱うことができるという利点がある。このような結果の探究は前年度においても非線形シュレディンガー方程式に対して行ったが, 今年度も引き続き方程式を変えて行った。一方で前年度までの結果はフェルミ黄金律の評価に関してエネルギーをもちいた評価を行っていたが今年度はコヴァルチク-マルテルのビリアル関数を改良したものを用いることで全ての評価をビリアルにより統一的に扱うことができるようになった。この改良はコヴァルチク-マルテルのビリアル関数を改良近似解理論を用いた座標で見直すことによって得られたものである。