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非線形シュレディンガー方程式の対称性と定在波解の安定性について

非线性薛定谔方程的对称性与驻波解的稳定性

基本信息

批准号：
08J56371
负责人：
前田昌也
金额：
$ 1.15万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は非線形分散型偏微分方程式を含む一般のハミルトン方程式の定在波解の軌道安定性についての研究を行った。ハミルトン方程式の定在波解の軌道安定性はGrillakis-Shatah-Straussにより研究された。彼らは定在波解の近傍の作用汎関数の形状を作用汎関数をTaylor展開することにより調べた。作用汎関数はハミルトン方程式の保存量であるのでこれを使うことにより安定性を解析することができる。私は定在波解の近傍に曲がった座標を導入することによりTaylor展開を行わず作用汎関数の形状を調べる方法を発見した。これによりGrillakis-Shatah-Straussの定理では示すことのできなかった臨界周波数(安定な周波数と不安定な周波数の境界の周波数)を含む退化した場合での定在波解の安定性不安定性の判定条件を得ることができた。また私の定理の応用としてべき乗方の非線形Klein-Gordon方程式の基底状態解の臨界周波数での不安定性を示すことができる。臨界周波数の不安定性は2次元以上の場合、Ohta-Todorovaによって、1次元でべきが2以上の場合はComech-Pelinovskyの定理の応用により示すことができるが、1次元でべきが2より小さい場合は未解決であった。本研究により非線形分散型偏微分方程式の基底状態解の軌道安定性の"ほぼ"必要十分である判定条件が得られ基底状態解の安定性についての理解が深まった。

This year, we conducted research on orbital stability of stationary wave solutions for nonlinear dispersion partial differential equations, including general equations. The orbital stability of the wave solution of the equation is studied by Grillakis-Shatah-Strauss. They determine the shape of the interaction matrix near the wave solution and the interaction matrix Taylor expansion. The function of the equation is to determine the stability of the equation A method for determining the shape of a wave solution by introducing coordinates into the wave solution is presented. The Grillakis-Shatah-Strauss theorem shows that the critical number of cycles (the number of stable cycles and the number of unstable cycles) contains degradation, and the conditions for determining the stability and instability of a stationary wave solution are obtained. The application of the theorem to the nonlinear Klein-Gordon equation shows the instability of the critical cycle number of the solution to the base state. The instability of critical cycle number is not solved in the case of two or more dimensions, Ohta-Todorova, one or more dimensions, Comech-Pelinovsky theorem, and one or more dimensions. In this paper, the necessary conditions for determining the orbital stability of the base-state solutions of non-linear decentralized partial differential equations are studied.