軌道の存在確率密度をもつ力学系の大域挙動に関する研究

本研究の目的は，軌道同士の振舞いに関するある局所的な条件から，軌道の存在確率密度に関する次の大域的な性質(1)と(2)を導くことである：(1)すべての軌道の存在確率密度が決まるならば，この存在確率密度が一意的に決まる．(2)有限時間での軌道の存在確率密度と，無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差は，エントロピーとポテンシャルという２つの値を用いて具体的に表示できる．特に本研究では，互いに異なる軌道の組に対して，一方の軌道の近くから他方の軌道の近くに移動する別の軌道がある，という局所的条件のみから上の性質(1)と(2)を導くことを目的とする．更に，本研究の応用として，次の結果(3)を導く．(3)稠密な軌道をもつ可微分力学系が，摂動を加えてもその性質を失わないならば，性質(1)と(2)を満たす．(1)に関連して，明記性を持つ力学系に対して軌道の存在確率密度の一意性を調べた．一意性が成り立たないとすると，Katokの定理により2つの双曲型集合が構成できる．明記性により，それぞれの安定多様体と不安定多様体が交点を持つ．これらの交点の中に一つでも横断的な交差が存在すると，Hopfの議論を用いることで矛盾が導かれ，一意性が証明できる．よって，横断的な交差を見つけることが目標である．背理法での証明を目指した．全ての交点が横断的な交差ではないと仮定する．今、2つの周期点の安定多様体と不安定多様体の交差に注目する．一方の不安定多様体から他方の不安定多様体に対して安定多様体に沿う写像(ホロノミー写像という)を考える．一方の不安定多様体の(拡張された)ホロノミー写像による他方の不安定多様体への像を調べる．この像が内点を持てば，インクリネーション補題により，反復による像を考えることで横断的な交差が見つかる．しかし，内点を見つけることができなかったため引き続き内点の存在の証明を目指す．

本研究の目的は，軌道同士の振舞いに関するある局所的な条件から，軌道の存在確率密度に関する次の大域的な性質(1)と(2)を導くことである：(1)すべての軌道の存在確率密度が決まるならば，この存在確率密度が一意的に決まる．(2)有限時間での軌道の存在確率密度と，無限に時間が経過した軌道の存在確率密度との差は，エントロピーとポテンシャルという２つの値を用いて具体的に表示できる．特に本研究では，互いに異なる軌道の組に対して，一方の軌道の近くから他方の軌道の近くに移動する別の軌道がある，という局所的条件のみから上の性質(1)と(2)を導くことを目的とする．更に，本研究の応用として，次の結果(3)を導く．(3)稠密な軌道をもつ可微分力学系が，摂動を加えてもその性質を失わないならば，性質(1)と(2)を満たす．(1)に関連して，明記性を持つ力学系に対して軌道の存在確率密度の一意性を調べた．一意性が成り立たないとすると，Katokの定理により2つの双曲型集合が構成できる．明記性により，それぞれの安定多様体と不安定多様体が交点を持つ．これらの交点の中に一つでも横断的な交差が存在すると，Hopfの議論を用いることで矛盾が導かれ，一意性が証明できる．よって，横断的な交差を見つけることが目標である．背理法での証明を目指した．全ての交点が横断的な交差ではないと仮定する．今、2つの周期点の安定多様体と不安定多様体の交差に注目する．一方の不安定多様体から他方の不安定多様体に対して安定多様体に沿う写像(ホロノミー写像という)を考える．一方の不安定多様体の(拡張された)ホロノミー写像による他方の不安定多様体への像を調べる．この像が内点を持てば，インクリネーション補題により，反復による像を考えることで横断的な交差が見つかる．しかし，内点を見つけることができなかったため引き続き内点の存在の証明を目指す．