Analysis of interfacial network dynamics focused on cellular pattern formation

2021年度は界面ネットワークのダイナミクスを記述するモデルの解析と数値解法を確立し，実際の生物学の未解決問題に適用することで問題の解明に成功したが，2022年度はこのモデルと数値解法をさらに一般化することを試みた．具体的には，当初の研究計画に掲げた異方性のある（向きに依存するエネルギーを持つ）界面のネットワークと，位置に依存するエネルギーを持つ界面のネットワークの解析手法を探索した．すでに確立した上記の数値近似を異方性のあるケースに拡張する場合，熱方程式による拡散近似を一般の非等方的な積分核との畳み込みで置き換える必要があることがわかり，この近似が実際に機能していることをS. Gavhale氏との共著論文で発表したが，接合点を含む界面ネットワークの場合のこの近似の解析が非常に難しい問題であることもわかった．異方性も含めて平均曲率流の世界的第一人者である研究者とも議論し，方針が定まらなかったため，2相の問題とネットワークの問題の間に位置すると言える障害物上の2相のダイナミクスをまず扱うことにした．この問題は細胞の基盤上の運動や細胞同士の接触による相互作用といった現象の理解に役立ち，応用上も意義があるのではなく，一般のネットワークの解析の踏み台になることを期待している．障害物上の問題はエネルギーの異方性と場所への依存性という一般の場合に解析を開始し，近似スキームの安定性・整合性とエネルギー汎関数のガンマ収束の確認ができた．現在はスキーム自体の収束，そしてそこから従う解の存在の証明に取り組んでいる．

2021年度は界面ネットワークのダイナミクスを記述するモデルの解析と数値解法を確立し，実際の生物学の未解決問題に適用することで問題の解明に成功したが，2022年度はこのモデルと数値解法をさらに一般化することを試みた．具体的には，当初の研究計画に掲げた異方性のある（向きに依存するエネルギーを持つ）界面のネットワークと，位置に依存するエネルギーを持つ界面のネットワークの解析手法を探索した．すでに確立した上記の数値近似を異方性のあるケースに拡張する場合，熱方程式による拡散近似を一般の非等方的な積分核との畳み込みで置き換える必要があることがわかり，この近似が実際に機能していることをS. Gavhale氏との共著論文で発表したが，接合点を含む界面ネットワークの場合のこの近似の解析が非常に難しい問題であることもわかった．異方性も含めて平均曲率流の世界的第一人者である研究者とも議論し，方針が定まらなかったため，2相の問題とネットワークの問題の間に位置すると言える障害物上の2相のダイナミクスをまず扱うことにした．この問題は細胞の基盤上の運動や細胞同士の接触による相互作用といった現象の理解に役立ち，応用上も意義があるのではなく，一般のネットワークの解析の踏み台になることを期待している．障害物上の問題はエネルギーの異方性と場所への依存性という一般の場合に解析を開始し，近似スキームの安定性・整合性とエネルギー汎関数のガンマ収束の確認ができた．現在はスキーム自体の収束，そしてそこから従う解の存在の証明に取り組んでいる．