Complexity of computing high dimensional volumes focusing on geometric duality

点击翻译按钮获取中文摘要

本年度は多変数のラプラス変換を用いて高次元多面体の体積を計算する方法について考察を進め、電子情報通信学会コンピュテーション研究会においてNIIのChristian Engelsと共著で研究発表を行った。年度の半ばにおいてはまず、多変数のラプラス変換に関する理論的な裏付けについて確認することに専念した。ラプラス変換はフーリエ変換の一種とみなされることに注意し、理論的な背景や裏付けについてはフーリエ解析に関する文献を調べることによって今回の研究課題に対して多変数ラプラス変換を高次元多面体の体積の計算に適用しうることは確認できた。その後、複数のn次元正軸体の体積の計算に対して多変数ラプラス変換を適用して体積を計算することを試みた。この種類の計算をする場合においては、立式の方法によって容易に式変形が煩雑になって、計算が手に負えなくなることに注意が必要である。多面体を配置する座標などに注意をすることで、ある程度手に負える程度の量の数式で書き下すことができる。年度終わりのコンピュテーション研究会での発表においては、２つのn次元正軸体の重なりの体積を正確に表現する数式を２変数ラプラス変換を用いて計算した結果を報告した。ただし、同時にこの方針での限界も見えてきている。２つのn次元正軸体の重なりの体積を表現する数式を得ることはできたが、研究会予稿の大部分を占めるほどの長大な数式になった。このため、３つのn次元正軸体の重なり部分の体積は更に長大な数式となると思われるため、式を簡素にする良い工夫がなければ査読者を確保するのが難しい論文となると思われる。