場の量子論的観点からデザイン統一を目指して～球面デザイン、共形デザインを中心に～

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頂点作用素代数（以下、VOA）は、二次元共形場理論を背景に持つ代数構造であり、組合わせ的対象である整数格子が持つ性質と類似した性質を持つ。整数格子、VOAの構造的対称性を測る一つの尺度として、それぞれ球面デザインと共形デザインがある。球面デザインは、格子とは関係なく定義され、さらに等質空間において一般化されている。しかし共形デザインはその一般化では捉えられない。本研究の目的は、さまざまな具体例を考察し、統一的に捉えられるデザイン理論の構築を目指すことである。令和元年度の研究で、あるVOAがS5級と呼ばれる対称性をもつことを示し、このことから共形デザインの新たな具体例を得た。これら具体例は格子VOAの位数3のcyclic orbifoldである。このことから素数位数pのcyclic orbifoldでさらに具体例を得られるか調べた。令和3年度の段階では、p>3のとき大体のcyclic orbifoldの最小共形重み空間が共形4デザインにならないことを、あるW代数の表現論と計算機を用いることで確かめた。令和4年度の研究では、跡公式から得られる等式や組合わせデザインを精査することで、計算機を用いずに、S5級となるcyclic orbifoldの候補を7つに絞ることができた。そこからさらにW代数の表現論を用いることで3つを除外した。残りの4つは位数3のときに得られたS5級の具体例である。以上より一般のpに対する分類を行えたので、現在はこれらをまとめている最中である。