バナッハ空間における種々の同型の研究とその応用

本研究の目的は、バナッハ空間の種々の同型（写像）の研究を通して、バナッハ空間の同型理論を発展させることである。特に、「種々の非線形構造がバナッハ空間全体に与える影響」の観点からバナッハ空間の非線形構造の解析を進め、新たな非線形同型の導入、および、それらのもとでのバナッハ空間の分類を行う。2022年度は、2021年度に得られた研究成果に基づき、バナッハ空間の幾何的非線形分類理論を発展させた。（１）2021年度の研究で導入された「バナッハ空間のBirkhoff-James直交構造に基づく非線形同型（以下、「BJ同型」という）」について、BJ同型写像の不変量である「幾何学的構造空間」の概念を新たに導入し、その解析に基づいて、連続関数空間や古典的数列空間がBJ同型の下で分類されることを示した。（２）3以上の次元を持つ平滑実バナッハ空間においては、BJ同型は等距離同型と同等であることが知られていたが、平滑性の仮定を除いた場合には、2以上のすべての次元において、BJ同型であるが等距離同型でないような実バナッハ空間のペアが構成できることを示した。（３）バナッハ空間の幾何学的構造空間に基づき、BJ同型よりも弱いバナッハ空間の非線形同型を導入し、その下でも、連続関数空間や古典的数列空間が分類されることを示した。また、回帰的平滑バナッハ空間においては、幾何学的構造空間に基づく同型は、通常の（有界線形）同型と凡そ同等であることを示した。より正確に言えば、幾何学的構造空間に基づく同型は、回帰的平滑実バナッハ空間においては通常の同型と同等であり、回帰的平滑複素バナッハ空間においては、通常の同型および共役同型の論理和と同等である。

本研究の目的は、バナッハ空間の種々の同型（写像）の研究を通して、バナッハ空間の同型理論を発展させることである。特に、「種々の非線形構造がバナッハ空間全体に与える影響」の観点からバナッハ空間の非線形構造の解析を進め、新たな非線形同型の導入、および、それらのもとでのバナッハ空間の分類を行う。2022年度は、2021年度に得られた研究成果に基づき、バナッハ空間の幾何的非線形分類理論を発展させた。（１）2021年度の研究で導入された「バナッハ空間のBirkhoff-James直交構造に基づく非線形同型（以下、「BJ同型」という）」について、BJ同型写像の不変量である「幾何学的構造空間」の概念を新たに導入し、その解析に基づいて、連続関数空間や古典的数列空間がBJ同型の下で分類されることを示した。（２）3以上の次元を持つ平滑実バナッハ空間においては、BJ同型は等距離同型と同等であることが知られていたが、平滑性の仮定を除いた場合には、2以上のすべての次元において、BJ同型であるが等距離同型でないような実バナッハ空間のペアが構成できることを示した。（３）バナッハ空間の幾何学的構造空間に基づき、BJ同型よりも弱いバナッハ空間の非線形同型を導入し、その下でも、連続関数空間や古典的数列空間が分類されることを示した。また、回帰的平滑バナッハ空間においては、幾何学的構造空間に基づく同型は、通常の（有界線形）同型と凡そ同等であることを示した。より正確に言えば、幾何学的構造空間に基づく同型は、回帰的平滑実バナッハ空間においては通常の同型と同等であり、回帰的平滑複素バナッハ空間においては、通常の同型および共役同型の論理和と同等である。