バナッハ空間における種々の幾何学的性質の研究とその応用

バナッハ空間論の研究においては、バナッハ空間内の凸図形の丸さや表面の滑らかさ等、幾何構造の研究が有用である。本研究課題では、バナッハ空間の幾何学的性質の導入や分類を行うことにより、バナッハ空間の構造理論の精密化を目指している。本年度は、次のような結果を得た。(1) 2つの有限フォン・ノイマン環の単位球面間の全射等距離写像が、全空間の間の実線形同型写像に拡張可能であることを示した。特に、ジョルダン同型写像を用いて、それらの写像の構造を決定した。(2) James定数とvon Neumann-Jordan定数の比較の研究は、これまで関数計算により不等式を改良していくというアプローチをとってきたが、本研究では、最良関数の定義を先に与えてその値を求めるという新たな方法を提案した。初歩の結果として、90度回転不変なノルムを持つ2次元空間に対して、James定数が最良値を取る場合のvon Neumann-Jordan定数の最大値を決定した。(3) ヒルベルト空間上の有界線形作用素の全体が成す環B(H)において、バナッハ空間値のバナッハ極限の研究を行い、B(H)に値をとるバナッハ極限がすべて複素数値バナッハ極限から生成されることを示した。応用として、Hが無限次元の場合は、B(H)に値を取るバナッハ極限が存在するにも関わらず、ベクトル列の概収束の概念がバナッハ極限を用いて特徴付けられないことを示した。これらの結果は、論文としてJ. Math. Anal. Appl.やPubl. Math. Debrecen等に発表済み或いは発表予定であり、研究集会での口頭発表も行った。

バナッハ空間論の研究においては、バナッハ空間内の凸図形の丸さや表面の滑らかさ等、幾何構造の研究が有用である。本研究課題では、バナッハ空間の幾何学的性質の導入や分類を行うことにより、バナッハ空間の構造理論の精密化を目指している。本年度は、次のような結果を得た。(1) 2つの有限フォン・ノイマン環の単位球面間の全射等距離写像が、全空間の間の実線形同型写像に拡張可能であることを示した。特に、ジョルダン同型写像を用いて、それらの写像の構造を決定した。(2) James定数とvon Neumann-Jordan定数の比較の研究は、これまで関数計算により不等式を改良していくというアプローチをとってきたが、本研究では、最良関数の定義を先に与えてその値を求めるという新たな方法を提案した。初歩の結果として、90度回転不変なノルムを持つ2次元空間に対して、James定数が最良値を取る場合のvon Neumann-Jordan定数の最大値を決定した。(3) ヒルベルト空間上の有界線形作用素の全体が成す環B(H)において、バナッハ空間値のバナッハ極限の研究を行い、B(H)に値をとるバナッハ極限がすべて複素数値バナッハ極限から生成されることを示した。応用として、Hが無限次元の場合は、B(H)に値を取るバナッハ極限が存在するにも関わらず、ベクトル列の概収束の概念がバナッハ極限を用いて特徴付けられないことを示した。これらの結果は、論文としてJ. Math. Anal. Appl.やPubl. Math. Debrecen等に発表済み或いは発表予定であり、研究集会での口頭発表も行った。